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Paradoxo de Grelling-Nelson

O paradoxo de Grelling-Nelson é uma antinomia, ou um paradoxo auto-referencial semântico, referente à aplicabilidade a si própria da palavra “heterológico”, que significa “inaplicável a si próprio”. Foi formulado em 1908 por Kurt Grelling e Leonard Nelson, e às vezes é erroneamente atribuído ao filósofo e matemático alemão Hermann Weyl. É, assim, ocasionalmente chamado de paradoxo de Weyl e paradoxo de Grelling. Está intimamente relacionado a vários outros paradoxos conhecidos, em particular, o paradoxo do barbeiro e o paradoxo de Russell.

O paradoxo
Suponha que se interprete os adjetivos “autológico” e “heterológico” da seguinte maneira:

Um adjetivo é autológico (às vezes homológico) se se descreve. Por exemplo, a palavra em inglês “inglês” é autológica, assim como “sem hífen” e “pentassilábico”.
Um adjetivo é heterológico se não se descreve. Portanto, “longo” é uma palavra heterológica (porque não é uma palavra longa), como são “hifenizados” e “monossilábicos”.

Todos os adjetivos, ao que parece, devem ser autológicos ou heterológicos, pois cada adjetivo se descreve ou não. Problemas surgem em vários casos, no entanto.

Descrição
Grelling e Nelson, ao formar sua antinomia, assumem que cada classe é definida por uma característica que denota uma palavra. Por exemplo, a palavra “monossilábico” denota o recurso da classe de todas as palavras monossilábicas. Em seguida, você divide as palavras em duas classes, definidas da seguinte maneira:

Uma palavra autológica em si tem a característica que designa, mas uma palavra heteróloga não. As palavras “alemão” ou “três sílabas” são autológicas, porque “alemão” é uma palavra alemã e “três sílabas” é uma palavra de três sílabas. No entanto, a maioria das palavras é heterológica, por exemplo, “inglês” e “monossilábico”, porque “inglês” não é uma palavra em inglês e “monossilábico” não é uma palavra monossilábica.

Parece que cada palavra pode ser classificada em uma dessas duas classes sem contradição, mas surgem problemas quando você olha mais de perto.

Casos paradoxais
O paradoxo de Grelling-Nelson surge quando consideramos o adjetivo “heterológico”. Pode-se perguntar: “heterológico” é uma palavra heterológica? Se a resposta for “não”, então “heterológico” é autológico. Isso leva a uma contradição, pois nesse caso “heterológico” não se descreve: deve ser uma palavra heterológica. Mas se a resposta for “sim”, então “heterológico” é heterológico. Isso novamente leva a uma contradição, porque se a palavra “heterológico” se descreve, é autológica.

“Heterológico” é uma palavra heterológica?
não → “heterológico” é autológico → “heterológico” se descreve → “heterológico” é heterológico, contradição
sim → “heterológico” é heterológico → “heterológico” não se descreve → “heterológico” não é heterológico, contradição

O paradoxo pode ser eliminado, sem alterar o significado de “heterológico”, onde era previamente bem definido, modificando ligeiramente a definição de “heterológico” para conter todas as palavras não-autológicas, exceto “heterológico”. Mas “não-autológico” está sujeito ao mesmo paradoxo, para o qual essa evasão não é aplicável porque as regras do inglês determinam exclusivamente seu significado do significado de “autológico”. Uma leve modificação semelhante à definição de “autológico” (como declarar falso de “não-autológico” e seus sinônimos) pode parecer corrigir isso, mas o paradoxo ainda permanece para sinônimos de “autológico” e “heterológico”, como “auto-descritivo” ”E“ não-descritivo ”, cujos significados também precisariam ser ajustados, e as conseqüências desses ajustes precisariam ser perseguidos e assim por diante. Libertar o inglês do paradoxo de Grelling-Nelson implica consideravelmente mais modificações na linguagem do que meros refinamentos nas definições de “autológico” e “heterológico”, que nem precisam estar no idioma para o paradoxo surgir. O escopo desses obstáculos para o inglês é comparável ao do paradoxo de Russell para a matemática fundada em conjuntos.

Casos arbitrários
Pode-se também perguntar se “autológico” é autológico. Pode ser escolhido consistentemente para ser:

se dizemos que “autológico” é autológico e depois perguntamos se ele se aplica a si mesmo, então sim, se aplica e, portanto, é autológico;
se dizemos que “autológico” não é autológico e depois perguntamos se ele se aplica a si mesmo, então não, não se aplica e, portanto, não é autológico.

Este é o oposto da situação para a heterologia: enquanto “heterológico” logicamente não pode ser autológico ou heterológico, “autológico” também pode ser. (Não pode ser ambos, pois a categoria de autológico e heterológico não pode se sobrepor.)

Em termos lógicos, a situação para “autológico” é:

“Autológico” é autológico se e somente se “autológico” for autológico
A se e somente se A, uma tautologia

enquanto a situação para “heterológico” é:

“Heterológico” é heterológico se e somente se “heterológico” for autológico
A se e somente se não A, uma contradição.

Casos ambíguos
Pode-se também perguntar se “alto” é autológico ou heterológico. Se dito em voz alta, “alto” é autológico; caso contrário, é heterológico. Isso mostra que alguns adjetivos não podem ser inequivocamente classificados como autológicos ou heterológicos. Newhard procurou eliminar esse problema, levando o Paradox de Grelling a lidar especificamente com os tipos de palavras, em oposição aos tokens de palavras.

Soluções
Na antinomia, Grelling e Nelson transferiram a antinomia de Russell para o nível do idioma, atribuindo um nome a cada classe por meio de uma função única reversível; a classe russeliana corresponde à classe de palavras heterológicas{\ displaystyle H = \ {\ varphi (x) \ mid \ varphi (x) \ notin x \}}, de modo a\ varphi (H)denota a palavra “heterológico”. Portanto, a solução da antinomia de Grelling-Nelson é completamente paralela à solução da antinomia de Russell: pode-se provar que a classe\, H, Hof, todas as palavras heterológicas não são um conjunto, mas uma chamada classe real.

A antinomia de Grelling-Nelson tem, portanto, a seguinte consequência lógica: a dada bijeção\ varphi, que especifica o nome de uma classe de palavras, não pode ser implementado logicamente. Com um conjunto de palavras acima de um alfabeto que descreve todos os idiomas comuns, uma função lógica interna que dá nome a todas as classes não pode ser formada; aqui as classes reais permanecem sem nome, porque não podem ser argumentos em funções. Isso significa que os requisitos de idioma para a antinomia não são atendidos. É, portanto, um dos chamados paradoxos semânticos, nos quais uma situação metalingüística é inadmissivelmente atraída para o nível da linguagem lógica. A nomeação de qualquer classe\ varphié correto apenas como uma função de metalinguagem que afeta a formação da fórmula. Mas se você {\ displaystyle \ varphi} \ varphi como Grelling-Nelson assume como uma função lógica analógica, não se pode provar que seja uma bijeção, porque a contradição mostra que esse pressuposto ingênuo está errado.

Ao resolver a teoria de tipo ramificado mais comum, a sintaxe é restrita, de modo que as instruções\ varphi (x) \ em xe\ varphi (x) \ notin xnão são mais sintaticamente corretos e as duas classes de palavras não podem mais ser formadas e definidas. As classes de palavras têm um tipo mais alto que seus elementos (palavras) e a função\ varphitipo ainda mais alto que as classes de palavras. Portanto, são valores de função\ varphi (x)não como elementos de\, x, xauthorized. Portanto, a teoria dos tipos tenta resolver os problemas introduzindo níveis de linguagem e, portanto, precisa de uma sintaxe complicada que limite severamente as possibilidades de linguagem. A formulação na lógica predicada do primeiro estágio, que, como a antinomia de Russell, é suficiente para resolver o problema, evita esse esforço e permite as referidas fórmulas; aqui as conclusões permitidas são suficientes para provar que os requisitos da antinomia de Grelling-Nelson são inconsistentes.

Semelhanças com o paradoxo de Russell
O paradoxo de Grelling-Nelson pode ser traduzido no famoso paradoxo de Bertrand Russell da seguinte maneira. Primeiro, é preciso identificar cada adjetivo com o conjunto de objetos aos quais esse adjetivo se aplica. Assim, por exemplo, o adjetivo “vermelho” é igualado ao conjunto de todos os objetos vermelhos. Dessa maneira, o adjetivo “pronunciável” é equiparado ao conjunto de todas as coisas pronunciáveis, uma das quais é a própria palavra “pronunciável”. Assim, uma palavra autológica é entendida como um conjunto, cujos elementos são o próprio conjunto. A questão de saber se a palavra “heterológico” é heterológica torna-se a questão de saber se o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm se contém como um elemento.

Importância para o entretenimento Linguística
Devido à sua raridade, encontrar palavras autológicas é um desafio, especialmente se palavras com negações como “incombustível” forem excluídas. Além de adjetivos, substantivos, verbos (“fim”, “conter”, “existir”), advérbios (inglês “polissilábicamente” multi-sílaba)) e outras palavras (“es”, “aqui”) são mencionados, nos quais existem duas definições para substantivos autológicos dão. Segundo uma definição, um substantivo é considerado autológico se descrever a característica que possui, segundo outro se descrever o que é. De acordo com a primeira definição, “quatro sílabas” (é quatro sílabas) e “antonimia” (é antônimo, ou seja, sinônimo) Exemplos de substantivos autológicos, após a segunda “três sílabas” (é uma sílaba) e ” Antônimo ”(é um antônimo). As palavras “haplogia” (para haplologia) e “oxímoro” foram formadas para serem autológicas de acordo com a segunda definição.

A palavra “Proparoxytonon” é autológica no sentido mais amplo (palavra enfatizada na penúltima sílaba, seja grega ou outra língua). “Neologismo” (criação de novas palavras) já foi uma palavra autológica, mas não é mais usada hoje. O “protologismo” (cunhado por Mikhail Epstein para sugerir novas palavras que ainda não são comuns e, portanto, ainda não alcançaram o status de neologismo) ainda é autológico, mas pode perder esse status. “Inacabado” está inacabado, mas não descreve corretamente essa propriedade e, portanto, não deve ser visto como uma palavra autóloga. “Citação” não é autológico, porque não é a palavra “citação” que é uma citação, mas a citação “” citação “”.

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Paradoxo de Epimenides

O paradoxo de Epimenides revela um problema de auto-referência na lógica. É nomeado após o filósofo cretense Epimenides of Knossos (vivo por volta de 600 aC), que é creditado com a declaração original. Uma descrição típica do problema é dada no livro Gödel, Escher, Bach, de Douglas Hofstadter:

Epimenides foi um cretense que fez uma declaração imortal: “Todos os cretenses são mentirosos”.

Um paradoxo da auto-referência surge quando se considera se é possível que Epimênides tenha falado a verdade.

Paradoxo lógico
Thomas Fowler (1869) declara o paradoxo da seguinte forma: “Epimênides, o cretense, diz que ‘todos os cretenses são mentirosos’, mas Epimênides é ele próprio um cretense; portanto, ele próprio é um mentiroso. Mas se ele é um mentiroso, o que ele diz é falso e, consequentemente, os cretenses são verdadeiros; mas Epimênides é um cretense e, portanto, o que ele diz é verdadeiro; dizendo que os cretenses são mentirosos, Epimênides é mentiroso, e o que ele diz é falso. Assim, podemos continuar a provar alternadamente que Epimênides e os cretenses são verdadeiros e mentirosos. ”

O paradoxo de Epimenides nesta forma, no entanto, pode ser resolvido. Existem duas opções: é verdadeira ou falsa. Primeiro, suponha que seja verdade, mas Epimênides, sendo cretense, seria um mentiroso, e assumindo que os mentirosos apenas fazem declarações falsas, a afirmação é falsa. Portanto, supor que a afirmação é verdadeira nos leva a concluir que a afirmação é falsa. Isso é uma contradição, portanto a opção de a afirmação ser verdadeira não é possível. Isso deixa a segunda opção: que é falsa.

Se assumirmos que a afirmação é falsa e que Epimênides está mentindo sobre todos os cretenses serem mentirosos, deve haver pelo menos um cretense que seja honesto. Isso não leva a uma contradição, pois não é necessário que esse cretense seja epimênides. Isso significa que Epimênides pode dizer a falsa afirmação de que todos os cretenses são mentirosos, conhecendo pelo menos um cretense honesto e mentindo sobre esse cretense em particular. Portanto, partindo do pressuposto de que a afirmação é falsa, não se segue que a afirmação seja verdadeira. Portanto, podemos evitar um paradoxo ao ver a afirmação “todos os cretenses são mentirosos” como uma afirmação falsa, feita por um cretense mentiroso, Epimênides. O erro cometido por Thomas Fowler (e muitas outras pessoas) acima é pensar que a negação de “todos os cretenses são mentirosos” é “todos os cretenses são honestos” (um paradoxo) quando, na verdade, a negação é “existe um cretense que é honesto ”ou“ nem todos os cretenses são mentirosos ”.

O paradoxo de Epimenides pode ser ligeiramente modificado para não permitir o tipo de solução descrito acima, como ocorreu no primeiro paradoxo de Eubulides, mas levando a uma autocontradição não evitável. As versões paradoxais do problema de Epimenides estão intimamente relacionadas a uma classe de problemas lógicos mais difíceis, incluindo o paradoxo do mentiroso, o paradoxo socrático e o paradoxo de Burali-Forti, todos com auto-referência em comum com Epimenides. De fato, o paradoxo de Epimenides é geralmente classificado como uma variação do paradoxo do mentiroso, e às vezes os dois não se distinguem. O estudo da auto-referência levou a importantes desenvolvimentos em lógica e matemática no século XX.

Em outras palavras, não é um paradoxo uma vez que se percebe que “todos os cretenses são mentirosos”, sendo falso apenas significa “nem todos os cretenses são mentirosos” em vez da suposição de que “todos os cretenses são honestos”.

Talvez seja melhor que, para “Todos os cretenses sejam mentirosos” seja uma afirmação verdadeira, isso não significa que todos os cretenses devam mentir o tempo todo. De fato, os cretenses podiam dizer a verdade com bastante frequência, mas ainda assim todos são mentirosos, no sentido de que os mentirosos são pessoas propensas à decepção por ganhos desonestos. Considerando que “todos os cretenses são mentirosos” só é visto como um paradoxo desde o século XIX, isso parece resolver o suposto paradoxo. Certamente, se “todos os cretenses são mentirosos contínuos” é realmente verdade, então perguntar a um cretense se são honestos sempre provocaria a resposta desonesta “sim”. Então, sem dúvida, a proposição original não é tão paradoxal quanto inválida.

Uma leitura contextual da contradição também pode fornecer uma resposta para o paradoxo. A frase original, “Os cretenses, sempre mentirosos, bestas más, barrigas vãs!” afirma não um paradoxo intrínseco, mas uma opinião dos cretenses de Epimênides. Um estereótipo de seu povo não pretendia ser uma afirmação absoluta sobre o povo como um todo. Pelo contrário, é uma afirmação feita sobre sua posição em relação a suas crenças religiosas e atitudes socioculturais. Dentro do contexto de seu poema, a frase é específica de uma certa crença, um contexto que Callimachus repete em seu poema sobre Zeus. Além disso, uma resposta mais pungente ao paradoxo é simplesmente que ser um mentiroso é declarar falsidades, nada na afirmação afirma que tudo o que é dito é falso, mas sim “sempre” mentindo. Esta não é uma afirmação de fato absoluta e, portanto, não podemos concluir que haja uma verdadeira contradição feita por Epimênides com essa afirmação.

Origem da frase
Epimênides era um filósofo e profeta religioso do século VI aC que, contra o sentimento geral de Creta, propôs que Zeus era imortal, como no seguinte poema:

Eles formaram uma tumba para ti, ó santo e elevado
Os cretenses, sempre mentirosos, bestas más, barrigas vãs!
Mas tu não estás morto; vives e permaneces para sempre,
Pois em ti vivemos, nos movemos e existimos.
– Epimenides, Cretica

Negar a imortalidade de Zeus, então, era a mentira dos cretenses.

A frase “cretenses, sempre mentirosos” foi citada pelo poeta Calímaco em seu hino a Zeus, com a mesma intenção teológica de Epimênides:

Ó Zeus, alguns dizem que você nasceu nas colinas de Ida;
Outros, ó Zeus, dizem em Arcádia;
Estes ou aqueles, ó Pai, mentiram? – “Os cretenses são sempre mentirosos.”
Sim, uma tumba, ó Senhor, para ti os cretenses edificaram;
Mas você não morreu, pois é para sempre.
– Calímaco, Hino I a Zeus

Emergência como contradição lógica
A inconsistência lógica de um cretense que afirma que todos os cretenses são sempre mentirosos pode não ter ocorrido a Epimênides, nem a Calimachus, que usou a frase para enfatizar seu argumento, sem ironia, talvez significando que todos os cretenses mentem rotineiramente, mas não exclusivamente.

No século I dC, a citação é mencionada por Paulo como tendo sido falada verdadeiramente por “um de seus próprios profetas”.

Um dos profetas de Creta disse: “Os cretenses são sempre mentirosos, brutamontes, barrigas vãs”.
Ele certamente disse a verdade. Por essa razão, corrija-os com firmeza, para que sejam sólidos na fé, em vez de prestar atenção às fábulas judaicas e aos mandamentos de pessoas que dão as costas à verdade.
– Epístola a Tito, 1: 12–13

Clemente de Alexandria, no final do século II dC, deixa de indicar que o conceito de paradoxo lógico é uma questão:

Em sua epístola a Tito, o apóstolo Paulo quer alertar Tito de que os cretenses não acreditam na única verdade do cristianismo, porque “os cretenses são sempre mentirosos”. Para justificar sua afirmação, o apóstolo Paulo cita Epimênides.
– Stromata 1.14

Durante o início do século IV, Santo Agostinho reafirma o paradoxo do mentiroso intimamente relacionado em Contra os acadêmicos (III.13.29), mas sem mencionar Epimênides.

Na Idade Média, muitas formas do paradoxo do mentiroso foram estudadas sob o título de insolubilia, mas elas não estavam explicitamente associadas a Epimenides.

Finalmente, em 1740, o segundo volume do Dictionnaire Historique et Critique de Pierre Bayle conecta explicitamente Epimenides ao paradoxo, embora Bayle rotule o paradoxo de “sofisme”.

Referências de outros autores
Todas as obras de Epimenides estão agora perdidas e conhecidas apenas através de citações de outros autores. A citação da Cretica of Epimenides é dada por RN Longenecker, “Atos dos Apóstolos”, no volume 9 do Comentário Bíblico do Expositor, Frank E. Gaebelein, editor (Grand Rapids, Michigan: Zondervan Corporation, 1976–1984), página 476. Longenecker, por sua vez, cita MD Gibson, Horae Semiticae X (Cambridge: Cambridge University Press, 1913), página 40, “in Syriac”. Longenecker afirma o seguinte em uma nota de rodapé:

A Síria. A versão da quadra nos chega da Síria. pai da igreja, Isho’dad, de Merv (provavelmente baseado no trabalho de Theodore de Mopsuestia), que JR Harris traduziu de volta ao Gr. em Exp [“O Expositor”] 7 (1907), p 336.

Uma referência oblíqua a Epimenides no contexto da lógica aparece em “The Logical Calculus”, de WE Johnson, Mind (Nova Série), volume 1, número 2 (abril de 1892), páginas 235–250. Johnson escreve em uma nota de rodapé,

Compare, por exemplo, as ocasiões de falácia fornecidas por “Epimenides é um mentiroso” ou “Essa superfície é vermelha”, que podem ser resolvidas em “Todas ou algumas afirmações de Epimenides são falsas”, “Toda ou parte da superfície é vermelho.”

O paradoxo de Epimenides aparece explicitamente em “Lógica matemática como baseada na teoria dos tipos”, de Bertrand Russell, no American Journal of Mathematics, volume 30, número 30 (número 3 (julho de 1908), páginas 222–262, que se abre com o seguinte :

A mais antiga contradição do tipo em questão é a Epimênides. Epimenides, o cretense, disse que todos os cretenses eram mentirosos, e todas as outras declarações feitas pelos cretenses certamente eram mentiras. Isso era mentira?

Nesse artigo, Russell usa o paradoxo de Epimenides como ponto de partida para discussões de outros problemas, incluindo o paradoxo de Burali-Forti e o paradoxo agora chamado paradoxo de Russell. Desde Russell, o paradoxo de Epimenides tem sido referenciado repetidamente na lógica. Típica dessas referências é Gödel, Escher, Bach, de Douglas Hofstadter, que atribui ao paradoxo um lugar de destaque na discussão da auto-referência.

Comente
Antes de começar, deve ser esclarecido que está estabelecido que um mentiroso faz apenas declarações falsas. Essa definição é comum no estudo da lógica, e é possível obter esse paradoxo com menos ambiguidade (mas também com muita complexidade) se for formulada como Todos os cretenses são pessoas cujas afirmações são sempre falsas.

Seguindo essa definição, à primeira vista, a alegação parece contraditória, já que Epimênides afirma estar mentindo (veja o paradoxo do mentiroso). Isso não é realmente verdade, porque, embora a afirmação possa não ser verdadeira, pode ser falsa. Se supusermos que seja verdade, Epimênides está afirmando que, como qualquer cretense, ele está mentindo e, portanto, a afirmação seria falsa e chegaria a uma autocontradição. Mas se supomos que é falso, não chegamos a uma contradição, pois se a afirmação Todos os cretenses é falsa, significa que há pelo menos um cretense, não necessariamente Epimênides, que diz a verdade. Portanto, é perfeitamente possível que a afirmação seja falsa e essa afirmação não seja um verdadeiro paradoxo.

É um falso paradoxo, pois na realidade comete falácia em sua primeira proposição: todos os cretenses são mentirosos. As proposições devem ser baseadas em fatos comprovados, e isso não é realmente um fato comprovado, mas uma indeterminação que deve ser justificada como verdadeira. Você não pode iniciar uma discussão sobre uma proposição indeterminada. Você deve começar com um fato comprovado. E sabemos que Epimênides é cretense (fato comprovado) e afirma ser (fato comprovado), portanto, devemos começar o raciocínio deste lado:

Epimenides é Cretan
Epimenides diz que é
→ Epimenides diz a verdade.

E a partir daí você obtém:

Todos os cretenses sempre mentem
Epimenides é cretense e às vezes diz a verdade
→ Então é falso afirmar que todos os cretenses sempre mentem

Para terminar de posar corretamente:

Nem todos os cretenses sempre mentem (fato comprovado)
Epimenides diz que sim (proposição)
→ Epimenides encontra-se (conclusão, fato comprovado)

Portanto, o paradoxo pode ser levantado novamente: “se Epimênides mentir, ele é um mentiroso”. Mas se primeiro aceitarmos a definição de mentiroso como alguém que SEMPRE conta mentiras, a abordagem lógica mais uma vez interrompe o paradoxo:

Epimenides, como um cretense, afirma ser um mentiroso: alguém que sempre mente.
Sabemos que Epimênides disse a verdade de vez em quando
→ Então é falso que Epimênides sempre mente

E como ele é cretense, é falso que todos os cretenses sempre mentam.

Concluindo, esse falso paradoxo se baseia em duas falácias: tomar uma proposição como certa sem ser assim e uma falácia lexical que confunde os conceitos “mentiroso” e “alguém que sempre conta mentiras”. Em pureza, não se pode dizer que alguém “seja” um mentiroso; não é uma essência, mas um estado. Pode-se mentir, como Epimênides, mas também pode dizer a verdade. Contar uma mentira não faz de você um mentiroso que sempre conta mentiras. É por isso que é importante, antes do raciocínio, esclarecer as definições: se ser um mentiroso é alguém que ocasionalmente mente, ou se ele é alguém que sempre mente. No primeiro caso, se definirmos “mentiroso” como alguém que mente ocasionalmente, o paradoxo não é esse, mas novamente uma falácia com uma conclusão falsa:

Epimenides é um mentiroso (às vezes ele mente)
Epimenides é Cretan
→ Todos os cretenses são mentirosos (ocasionalmente mentem)

A conclusão não pôde ser inferida a partir das proposições. Não se sabe se todos os cretenses são mentirosos ocasionais. Somente Epimenides é conhecido por ser.

Solução
Todos os cretenses são mentirosos, sou cretense e depois minto. Portanto, o que é afirmado nesta sentença é uma mentira, voltando a mentir para cada morfema adicionado.

Conceitos para avaliar:

Todo o mundo.
Mentirosos.
Cretense.

Para esclarecer o paradoxo, a lógica nebulosa teria que ser aplicada, 5 estabelecendo que ela diz a Verdade, diz uma Lie ou Ni fu ni fa.

Você deseja comparar as informações

Cidadão = Cretenses / Todos ‘Esta divisão resultará em 1’

Todos os cidadãos querem contar e, para isso, a conta deve ser calculada:

Conta Home
Pessoa (verdadeira)
{
O indivíduo = tudo deve ser conhecido (conta = conta + cidadão)
Se a informação é igual a verdade
estabelece-se que o indivíduo é uma pessoa = verdade
Se a informação é igual a mentira
fica estabelecido que o indivíduo é uma pessoa = mentiroso
Em qualquer um dos outros casos
Valor nulo para a pessoa
}
Se Pessoa (verdade) é um Mentiroso, então
Um é adicionado à conta Lie
Se Pessoa (verdade) é Verdade, então
Um é adicionado à conta da verdade
qualquer outro caso
Um é adicionado à conta ni fu ni fa
Contagem final
Agora, a contagem de mentiras é comparada ao valor de todos.

Se são iguais, todos os cretenses são mentirosos.

Este exemplo mostra que todos serão mentirosos para um caso específico, e não para todos os casos que possam surgir. Se se presume que eles são para todos os casos, isso envolve um paradoxo. A menos que todos os casos sejam examinados um por um, a declaração será verdadeira para informações processadas e não para informações que ainda não foram processadas. Esse paradoxo, quando valores absolutos são assumidos, é frequentemente usado na falácia do verdadeiro escocês.

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Paradoxo do Tribunal

O paradoxo da corte, também conhecido como contra-dilema de Euathlus, é um paradoxo originário da Grécia antiga. Diz-se que o famoso sofista Protágoras contratou um aluno, Euathlus, com o entendimento de que o estudante paga a Protágoras por sua instrução depois de vencer seu primeiro processo judicial. Após a instrução, Euathlus decidiu não ingressar na profissão de advogado, e Protágoras decidiu processar Euathlus pelo montante devido.

Protágoras argumentou que se ele vencesse o caso, ele receberia seu dinheiro. Se Euathlus vencesse o caso, Protágoras ainda seria pago de acordo com o contrato original, porque Euathlus venceria seu primeiro caso. Euathlus, no entanto, alegou que, se ele vencesse, por decisão do tribunal, ele não teria que pagar Protágoras. Se, por outro lado, Protágoras vencesse, então Euathlus ainda não teria vencido um caso e, portanto, não seria obrigado a pagar. A questão é: qual dos dois homens está certo?

A história é contada pelo autor latino Aulus Gellius em Attic Nights.

Análise
Do ponto de vista moral, pode-se argumentar que ambas as partes estavam certas ou que nenhuma estava certa, devido à natureza ambígua da situação. No entanto, por uma questão de lei, se o tribunal decidir a favor de Protágoras, as condições do contrato original entre ele e seu aluno seriam inválidas e Evatlo teria que pagar Protágoras. Se, pelo contrário, a Evatlo fosse a vencedora, o tribunal também poderia cancelar sua obrigação de pagar.

A maneira pela qual o tribunal pode tomar sua decisão também não é um paradoxo de um ponto de vista objetivo. O tribunal pode decidir que Evatlo (como réu) violou os termos do contrato ou não o fez. As elucubrações subsequentes não teriam consequências legais na decisão do tribunal.

Em alguns casos, o réu civil, se receber o favor do tribunal, também estará protegido dos pagamentos associados ao ato de ir a julgamento. De fato, a Corte poderia ordenar que Protágoras, como demandante perdedor, pagasse a Evatlo a quantia que lhe custava ganhar. Nesse caso, a Evatlo pagaria a Protágoras e o dinheiro seria devolvido por ordem judicial. O contrato original teria sido cumprido e Evatlo não teria nenhuma obrigação adicional de pagar por suas instruções à Protágoras. O resultado para Protágoras seria que ele teria perdido o caso, recebido o pagamento de acordo com o contrato original e depois teria que pagar as perdas do litigante pela reclamação falhada (que, nesse caso, seria igual ou maior que o custo da educação de Evatlo)

Além disso, a Evatlo poderia contratar um advogado para se encarregar do caso, invalidando o presente caso como exemplo de pagamento.

Segundo a história, Euathlos era pobre e não podia pagar as lições de Protágoras. Este último o aceitou como discípulo depois de ter concluído o seguinte acordo:

Euathlos reembolsará as lições aprendidas quando vencer seu primeiro julgamento.
Depois que sua educação terminou, Eualthos recusou-se a advogar como advogado e a pagar Protágoras. Sem implorar, ele não poderia vencer nenhum julgamento. Não tendo vencido uma ação, ele não precisou reembolsar seu mestre. Protágoras então o atacou no tribunal, a fim de forçar seu aluno a implorar.

O raciocínio de Protágoras é o seguinte:

Se Eualthos vencer sua ação, ele deve reembolsar seu mestre, porque estes eram os termos do acordo.
Se Eualthos perde seu julgamento, ele deve reembolsar seu mestre, porque a justiça o obriga a fazê-lo.

Protágoras seria, portanto, reembolsado independentemente do resultado do julgamento. Em virtude do acordo com a Eualthos ou por uma decisão judicial. O paradoxo intervém na resposta do discípulo. Segundo ele, ele não terá nada para reembolsar. Qualquer que seja o resultado do julgamento, ele não pagará.

Seu raciocínio do discípulo é expresso da seguinte maneira:

Se ele vencer sua ação, ele não deve reembolsar seu mestre, pois a justiça o absolveu.
Se ele perde o julgamento, não deve reembolsar seu mestre, pois suas lições são ineficazes.

Por fim, como devemos julgar esse conflito?

Talvez observando que, para julgar, devemos primeiro esperar pelo resultado do julgamento, pois é esse resultado que determina quem está errado e quem está certo. O que abre duas possibilidades:

Portanto, basta esperar até que o julgamento termine para poder continuar; e enquanto isso, Euathlos sem dúvida estará envolvido em outro julgamento mais significativo …
rejeitar Protágoras, uma vez que seu julgamento é sem causa: o resultado do primeiro julgamento de Euathlos ainda não é conhecido, Protágoras não pode afirmar que Euathlos já lhe deve algo, isso é contrário ao acordo. Para que o paradoxo desapareça, o juiz deve primeiro concordar com Euathlos. Protágoras pode então iniciar outro julgamento.

De fato, através do jogo entre duas normas jurídicas independentes (lei contratual e o acordo inicial entre as duas partes), o juiz se encontra em uma situação em que o resultado que ele deve pronunciar é sempre o oposto do que ele deve ser: designar Protágoras como um vencedor, ele deve considerá-lo um perdedor (e vice-versa). É um paradoxo clássico auto-referencial, do tipo mentiroso, mas com uma dimensão temporal que deve ser levada em consideração (como no paradoxo do avô, onde um indivíduo capaz de viajar no tempo mata seus pais antes de seu nascimento).

Outra teoria
Outra maneira de analisar o caso é a seguinte:

Evatlo venceria seu caso, já que Protágoras o processou ANTES de Evatlo vencer seu primeiro caso. Protágoras perderia esse caso em particular porque Evatlo ainda não venceu um caso e, portanto, a causa da ação de Protágoras ainda não havia se manifestado.

A nova vitória de Evatlo seria considerada um novo teste para Protágoras, que é o motivo de um novo julgamento.

Pode-se criticar que, embora isso represente uma solução prática, não resolve o paradoxo lógico. No entanto, isso pode ser desafiado pela identificação de uma suposição-chave na lógica, a dos estados eternos.

Essa solução funciona porque observa a suposição dos estados eternos, ou seja, a descrição se aplica ao longo do tempo. Se essa suposição for falsa, que o tribunal tomar a decisão sem o conhecimento dos resultados do julgamento (ou excluir evidências a qualquer momento após o início do caso, mas após o término do caso), poderá ser resolvido porque O aluno não venceu o caso naquele momento. O tribunal pode decidir que não ganhou, portanto, não precisa pagar sem contradição. Uma nova demanda por Protágoras também não é contraditória. Neste segundo processo, o status do aluno mudou: ele agora venceu um caso. A segunda demanda não inclui o resultado da primeira, porque é anterior ao segundo julgamento e o tribunal pode decidir livremente a favor da Protágoras. Se assumirmos estados eternos, o tribunal terá que conhecer todos os casos em que o aluno participará ao longo de sua vida, tanto no passado quanto no futuro. Nesse caso, haveria uma contradição para uma suposição que não seria realista. Portanto, o aluno poderia ganhar o primeiro caso, mas perder o segundo, pois isso acontece em diferentes momentos de sua vida.

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Dilema de crocodilo

O paradoxo do crocodilo, também conhecido como sofisma do crocodilo, é um paradoxo na lógica na mesma família de paradoxos que o paradoxo do mentiroso. A premissa afirma que um crocodilo que roubou um filho promete ao pai / mãe que seu filho será devolvido se, e somente se, preverem corretamente o que o crocodilo fará a seguir.

Conteúdo
O fechamento de crocodilos é um paradoxo dialético clássico da antiguidade que se refere a uma conversa fictícia entre um crocodilo e uma mãe. O crocodilo roubou um filho da mãe. A pedido da mãe para devolver a criança, o crocodilo promete devolver a criança e somente se a mãe adivinhar corretamente o que fará com a criança.

Desta forma, a mãe está sujeita a uma captura.

Ela responde, ou seja, o crocodilo fará a criança voltar, estará de acordo com a lógica de sua proposta feita com a máxima segurança que a criança perde, porque o crocodilo é sim do que os invasores do interesse da criança em manter a criança.

Se, no entanto, ela responder que o crocodilo não devolve a criança de acordo com o interesse dele, ela está colocando o crocodilo em um dilema argumentativo. Se o crocodilo mantém a criança, ele viola sua própria palavra. O crocodilo pode, portanto, responder apenas que não se sente vinculado à sua palavra, uma vez que a própria mãe descartou a possibilidade lógica de retornar através de sua resposta. A mãe só pode continuar reclamando seu filho de volta, de acordo com o contrato.

Declaração do paradoxo
Podemos afirmar o paradoxo da seguinte maneira:

Um crocodilo pega um bebê e diz à mãe: “Se você adivinhar o que eu vou fazer, eu devolverei o bebê, caso contrário, eu o comerei. ”

Supondo que o crocodilo mantenha sua palavra, o que a mãe deve dizer para que o crocodilo devolva a criança à mãe?

Uma resposta usual da mãe é: “Você a devorará! ”

Se o crocodilo devorasse a criança, a mãe teria acertado e o crocodilo teria que devolver a criança.

Se o crocodilo devolvesse a criança, a mãe estaria errada e o crocodilo teria que devorá-lo.

Nos dois casos, o crocodilo não pode manter sua palavra e se depara com um paradoxo.

Segundo Lewis Carroll, o crocodilo vai comer a criança, porque é de natureza natural. Esse paradoxo foi contado por Lucien de Samosate, que o coloca na boca do estóico Crisóstomo, no diálogo Seitas em leilão.

Essa falácia crocodiliana é relatada por Quintilian em seu trecho da Oratory Institution, autor latino do século I.

No entanto, se a mãe responder: “você vai me devolver”, não há mais paradoxo e a proposição é verdadeira, se o crocodilo devolve a criança ou se ela a devora.

O verdadeiro e o falso
Esse paradoxo é semelhante ao paradoxo do mentiroso, no sentido de que, se queremos que a afirmação seja verdadeira, ela se torna falsa e, se queremos que ela seja falsa, ela se torna verdadeira.

Há uma resposta mais sutil da mãe, que é: “Você vai devorar meu filho ou vai devolvê-lo!” ”

O crocodilo não pode manter sua palavra e devorar a criança. Sua única possibilidade de cumprir sua palavra é devolver a criança. Nesse caso, a mãe terá previsto o que o crocodilo fará.

Esse tipo de situação é chamado de “lógica coercitiva” por Raymond Smullyan em seu livro Les Énigmes de Shéhérazade. Os exemplos que ele dá no capítulo “A Grande Questão” correspondem exatamente à situação do paradoxo dos crocodilos.

A transação é logicamente suave, mas imprevisível se o pai achar que a criança será devolvida, mas surgirá um dilema para o crocodilo se o pai achar que a criança não será devolvida. No caso em que o crocodilo decide manter a criança, ele viola seus termos: a previsão dos pais foi validada e a criança deve ser devolvida. No entanto, no caso em que o crocodilo decide devolver a criança, ele ainda viola seus termos, mesmo que essa decisão se baseie no resultado anterior: a previsão dos pais foi falsificada e a criança não deve ser devolvida. A questão do que o crocodilo deve fazer é, portanto, paradoxal, e não há solução justificável.

O dilema do crocodilo serve para expor alguns dos problemas lógicos apresentados pelo metaknowledge. A esse respeito, é semelhante em construção ao paradoxo inesperado do enforcamento, que Richard Montague (1960) usou para demonstrar que as seguintes suposições sobre o conhecimento são inconsistentes quando testadas em conjunto:

(i) Se ρ é conhecido como verdadeiro, então ρ.

(ii) Sabe-se que (i).

(iii) Se ρ implica σ, e ρ é conhecido como verdadeiro, então σ também é conhecido como verdadeiro.

Fontes gregas antigas foram as primeiras a discutir o dilema dos crocodilos.

Tipo
Existem outras variações, como “o profeta que foi condenado à morte tem a profecia feita pelo rei e muda o método de execução, dependendo de ter sido cumprido ou não”.

No episódio 13 “Riso Canguru” do drama “Nisaburo Furuhata”, um leão apareceu na frente do aventureiro e fez a mesma pergunta que o crocodilo acima, e apareceu como uma história no bar.

Espanha do romance “Don Quixote in”, consulta, como a seguir ao original Sancho Panza, vem em microcomputador. “Para atravessar a ponte, você deve relatar seu objetivo e, se for uma mentira, será enforcado. Um homem diz: “Eu sou enforcado. Eu vim para ser. ”

Sancho Panza, por outro lado, diz que deveria passar. A lógica é que “sempre me disseram pelo meu marido que eu deveria ser misericordioso em caso de dúvida”.

Redação
O crocodilo pegou seu filho da mulher egípcia que estava na margem do rio. O crocodilo devolveu a criança ao pedido, tendo derramado, como sempre, uma lágrima de crocodilo, respondeu:

“Seu infortúnio me comoveu, e eu lhe darei uma chance de recuperar seu filho.” Acho que vou dar a você ou não. Se você responder corretamente, retornarei a criança. Se você não adivinhar, não vou desistir.

Pensando, a mãe respondeu:

“Você não vai me dar o bebê.”

“Você não vai entender”, concluiu o crocodilo. “Você disse a verdade ou a mentira.” Se o fato de não desistir da criança for verdadeiro, não a devolverei, porque, caso contrário, não será verdade. Se o que foi dito não for verdade, então você não adivinhou, e eu não desistirei da criança de acordo.

No entanto, a mãe não achou esse raciocínio convincente:

“Mas se eu disser a verdade, você me dará a criança, como combinamos.” Se eu não achasse que você não iria desistir da criança, deveria me dar, caso contrário, o que eu disse não seria falso.

Quem está certo: mãe ou crocodilo? O que o crocodilo lhes promete? Dar a criança ou, inversamente, não a dar? E para isso e para outro ao mesmo tempo. Essa promessa é internamente contraditória e, portanto, impossível de cumprir em virtude das leis da lógica.

Outra redação
O missionário se viu nos canibais e chegou bem a tempo do jantar. Eles permitem que ele escolha de que forma ele será comido. Para fazer isso, ele deve pronunciar uma afirmação com a condição de que, se for verdadeira, eles a soldarão e, se for falsa, será frita.

O que deve ser dito ao missionário?

Ele deve dizer: “Você vai me fritar.” Se estiver realmente frito, acontece que ele expressou a verdade e, portanto, deve ser cozida. Se estiver cozido, sua afirmação será falsa e deve ser frita. Os canibais não terão escolha: de “fritar” segue-se “cozinhar” e vice-versa.

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Paradoxo de Berry

O paradoxo de Berry é um paradoxo autorreferencial que surge de uma expressão como “O menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras” (uma frase com cinquenta e sete letras). Bertrand Russell, o primeiro a discutir o paradoxo impresso, atribuiu-o a GG Berry (1867-1928), um bibliotecário júnior da biblioteca Bodleian de Oxford.

Visão geral
Considere a expressão:
“O menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras.”

Como existem apenas 26 letras no alfabeto inglês, existem finitas frases com menos de sessenta letras e, portanto, finitamente muitos números inteiros positivos que são definidos por frases com menos de sessenta letras. Como existem infinitos números inteiros positivos, isso significa que existem números inteiros positivos que não podem ser definidos por frases com menos de sessenta letras. Se houver números inteiros positivos que satisfaçam uma determinada propriedade, haverá um número inteiro positivo menor que satisfaça essa propriedade; portanto, há um menor número inteiro positivo que satisfaça a propriedade “não definível em menos de sessenta letras”. Este é o número inteiro ao qual a expressão acima se refere. Mas a expressão acima tem apenas cinquenta e sete letras, portanto é definível em menos de sessenta letras e não é o menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras e não é definida por essa expressão. Isso é um paradoxo: deve haver um número inteiro definido por essa expressão, mas, como a expressão é autocontraditória (qualquer número inteiro que ela define pode ser definido em menos de sessenta letras), não pode haver nenhum número inteiro definido por ela.

Talvez outra analogia útil ao paradoxo de Berry seja a frase “sentimento indescritível”. Se o sentimento é realmente indescritível, então nenhuma descrição do sentimento seria verdadeira. Mas se a palavra “indescritível” comunica algo sobre o sentimento, pode ser considerada uma descrição: isso é autocontraditório.

O matemático e cientista da computação Gregory J. Chaitin em The Unknowable (1999) acrescenta este comentário: “Bem, o historiador matemático mexicano Alejandro Garcidiego se deu ao trabalho de encontrar a carta [de Berry da qual Russell escreveu suas observações], e é bastante um paradoxo diferente. A carta de Berry fala sobre o primeiro ordinal que não pode ser nomeado em um número finito de palavras. De acordo com a teoria de Cantor, esse ordinal deve existir, mas acabamos de nomeá-lo em um número finito de palavras, o que é uma contradição. ”

Explicações
Os números naturais podem ser descritos por declarações (em francês) como: “dez potência cem” ou “o maior número primo conhecido no século XX”. O conjunto de “números naturais inteiros descritíveis por uma expressão de quinze palavras ou menos” é, portanto, finito; Portanto, é provável que existam muitos números inteiros fora deste conjunto. O menor deles é, portanto, “o menor número inteiro natural que não pode ser descrito por uma expressão de quinze palavras ou menos”. Mas precisamente, essa afirmação que a descreve perfeitamente, contém apenas quinze palavras.

Também poderíamos sugerir a criação de novas palavras, mas elas não são infinitas se colocarmos um limite no número de letras: seria suficiente reescrever a redação com um limite de letras e não de palavras para contornar esse argumento.

Esse paradoxo está muito próximo do paradoxo de Richard (às vezes também sob esse nome), do qual pode ser considerado uma variante finita. Poincaré, que queria ver a razão dos paradoxos lógicos em uma manipulação insegura do infinito, disse, sobre o paradoxo de Berry que usa precisamente apenas noções finitas: “eles tendiam a armadilha onde se divertiam caindo, e até eles tiveram que tomar muito cuidado para não cair ao lado da armadilha ”.

Também podemos considerar que envolve o mesmo tipo de perguntas que certas formas do paradoxo do mentiroso (a frase que diz por si mesma que é falsa). Geralmente, isso é resolvido formalizando a linguagem, aqui o que torna possível descrever os números inteiros e distinguindo-a da metalinguagem na qual a sentença de Berry é declarada, que não é mais paradoxal (veja também o artigo sobre o paradoxo de Richard, bem como a tradução desse paradoxo [ref. necessário] na forma de prova de que a complexidade de Kolmogorov não é calculável).

Resolução
O paradoxo de Berry, conforme formulado acima, surge por causa da ambiguidade sistemática da palavra “definível”. Em outras formulações do paradoxo de Berry, como uma que diz: “… não nomeado em menos …” o termo “nomeado” também é aquele que tem essa ambiguidade sistemática. Termos desse tipo dão origem a falácias violentas do círculo. Outros termos com esse tipo de ambiguidade são: satisfatória, verdadeira, falsa, função, propriedade, classe, relação, cardeal e ordinal. Resolver um desses paradoxos significa identificar exatamente onde nosso uso da linguagem deu errado e fornecer restrições ao uso da linguagem que possa evitá-los.

Essa família de paradoxos pode ser resolvida incorporando estratificações de significado na linguagem. Termos com ambiguidade sistemática podem ser escritos com subscritos que indicam que um nível de significado é considerado uma prioridade mais alta que outro em sua interpretação. “O número não nomeado0 em menos de onze palavras” pode ser nomeado1 em menos de onze palavras neste esquema.

Análogos formais
Usando programas ou provas de comprimentos limitados, é possível construir um análogo da expressão Berry em uma linguagem matemática formal, como foi feito por Gregory Chaitin. Embora o análogo formal não conduza a uma contradição lógica, prova alguns resultados impossíveis.

George Boolos (1989) construiu uma versão formalizada do paradoxo de Berry para provar o Teorema da Incompletude de Gödel de uma maneira nova e muito mais simples. A idéia básica de sua prova é que uma proposição que contém x se e somente se x = n para algum número natural n pode ser chamada de definição para n, e que o conjunto {(n, k): n tem uma definição que pode ser mostrado que é representável (usando números de Gödel). Então a proposição “m é o primeiro número não definível em menos de k símbolos” pode ser formalizada e mostrada como sendo uma definição no sentido que acabamos de declarar.

Relacionamento com a complexidade de Kolmogorov
Em geral, não é possível definir inequivocamente qual é o número mínimo de símbolos necessário para descrever uma determinada sequência (dado um mecanismo de descrição específico). Nesse contexto, os termos sequência e número podem ser usados ​​de forma intercambiável, uma vez que um número é realmente uma sequência de símbolos, por exemplo, uma palavra em inglês (como a palavra “onze” usada no paradoxo) enquanto, por outro lado, é possível para se referir a qualquer palavra com um número, por exemplo, pelo número de sua posição em um determinado dicionário ou por uma codificação adequada. Algumas seqüências longas podem ser descritas exatamente usando menos símbolos do que os exigidos por sua representação completa, como geralmente é obtido com a compactação de dados. A complexidade de uma determinada string é então definida como o comprimento mínimo que uma descrição requer para se referir (sem ambiguidade) à representação completa dessa string.

A complexidade de Kolmogorov é definida usando linguagens formais, ou máquinas de Turing, que evitam ambiguidades sobre qual sequência resulta de uma determinada descrição. Pode-se provar que a complexidade de Kolmogorov não é computável. A prova por contradição mostra que, se fosse possível calcular a complexidade de Kolmogorov, também seria possível gerar sistematicamente paradoxos semelhantes a este, ou seja, descrições mais curtas do que implica a complexidade da cadeia descrita. Ou seja, a definição do número de Berry é paradoxal porque, na verdade, não é possível calcular quantas palavras são necessárias para definir um número, e sabemos que esse cálculo não é possível devido ao paradoxo.

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Paradoxo de Bhartrhari

Paradoxo de Bhartrhari: A tese de que algumas coisas são inomináveis ​​entra em conflito com a noção de que algo é nomeado ao chamá-lo de inominável.

Bhartṛhari é um escritor sânscrito a quem normalmente são atribuídos dois textos sânscritos influentes:

o Vākyapadīya, na gramática sânscrita e na filosofia linguística, um texto fundamental na tradição gramatical indiana, explicando numerosas teorias sobre a palavra e a frase, incluindo teorias que passaram a ser conhecidas sob o nome de Sphoṭa; neste trabalho, Bhartrhari também discutiu problemas lógicos, como o paradoxo do mentiroso e um paradoxo de inominabilidade ou insignificabilidade que ficou conhecido como paradoxo de Bhartrhari, e
o Śatakatraya, uma obra de poesia sânscrita, composta por três coleções de cerca de 100 estrofes cada; pode ou não ser do mesmo autor que compôs as duas obras gramaticais mencionadas.
Na tradição medieval da erudição indiana, supunha-se que os dois textos fossem escritos pela mesma pessoa. Os filólogos modernos eram céticos em relação a essa afirmação, devido a um argumento que datava a gramática para uma data posterior à poesia. Desde a década de 1990, no entanto, os estudiosos concordam que os dois trabalhos podem realmente ter sido contemporâneos; nesse caso, é plausível que houvesse apenas um Bhartrihari que escrevesse os dois textos.

Tanto a gramática quanto as obras poéticas tiveram uma enorme influência em seus respectivos campos. A gramática, em particular, adota uma visão holística da linguagem, contrariando a posição de composicionalidade dos Mimamsakas e outros.

A poesia constitui versos curtos, reunidos em três séculos com cerca de cem poemas cada. Cada século lida com um rasa ou humor estético diferente; de maneira geral, sua obra poética tem sido muito respeitada tanto na tradição quanto nos estudos modernos.

O nome Bhartrihari também é associado às vezes a Bhartrihari traya Shataka, o lendário rei de Ujjaini no século I.

Data e identidade
O relato do viajante chinês Yi-Jing indica que a gramática de Bhartrihari era conhecida em 670 EC e que ele talvez fosse budista, o que o poeta não era. Com base nisso, a opinião acadêmica havia anteriormente atribuído a gramática a um autor separado com o mesmo nome desde o século VII dC. No entanto, outras evidências indicam uma data muito anterior:

Acredita-se que Bhartrihari tenha vivido no século VII dC, mas de acordo com o testemunho do peregrino chinês Yijing, ele era conhecido pelo filósofo budista Dignaga, e isso levou sua data para o quinto século dC.

Um período de c. 450–500 “definitivamente não depois de 425–450”, ou, seguindo Erich Frauwallner, 450–510 ou talvez 400 CE ou até mais cedo.

A outra afirmação de Yi-Jing, de que Bhartrihari era budista, parece não se sustentar; sua posição filosófica é amplamente considerada uma ramificação da escola Vyakaran ou gramática, intimamente aliada ao realismo dos Naiyayikas e nitidamente oposta a posições budistas como Dignaga, que estão mais próximas do fenomenalismo. Também se opõe a outros mImAMsakas como Kumarila Bhatta. No entanto, algumas de suas idéias posteriormente influenciaram algumas escolas budistas, o que pode ter levado Yi-Jing a supor que ele poderia ter sido budista.

Assim, no geral, parece provável que a visão tradicional sânscrita, de que o poeta do Śatakatraya seja o mesmo do gramático Bhartṛhari, possa ser aceito.

O principal estudioso sânscrito Ingalls (1968) afirmou que “não vejo razão para que ele não deva ter escrito poemas, além de gramática e metafísica”, como Dharmakirti, Shankaracharya e muitos outros. O próprio Yi Jing parecia pensar que eles eram a mesma pessoa, ao escrever que (o gramático) Bhartṛhari, autor do Vakyapadiya, era conhecido por sua vacilação entre o monge budista e uma vida de prazer e por ter escrito versos sobre o assunto.

Vākyapadīya
As visões de Bhartrihari sobre a linguagem se baseiam nas de gramáticos anteriores, como Patanjali, mas eram bastante radicais. Um elemento chave de sua concepção da linguagem é a noção de sphoṭa – um termo que pode ser baseado em um gramático antigo, Sphoṭāyana, referido por Pāṇini, agora perdido.

Em seu Mahabhashya, Patanjali (século II aC) usa o termo sphoṭa para denotar o som da linguagem, o universal, enquanto o som real (dhvani) pode ser longo ou curto, ou variar de outras maneiras. Pode-se pensar que essa distinção seja semelhante à da noção atual de fonema. Bhatrihari, no entanto, aplica o termo sphota a cada elemento da expressão, var ,a a letra ou sílaba, pada a palavra e vākya a sentença. Para criar o invariável lingüístico, ele argumenta que eles devem ser tratados como conjuntos separados (varṇasphoṭa, padasphoṭa e vākyasphoṭa, respectivamente). Por exemplo, o mesmo som de fala ou varṇa pode ter propriedades diferentes em diferentes contextos de palavras (por exemplo, assimilação), de modo que o som não possa ser discernido até que toda a palavra seja ouvida.
Além disso, Bhartrihari defende uma visão holística do significado da sentença, dizendo que o significado de um enunciado é conhecido somente depois que a sentença inteira (vākyasphoṭa) foi recebida e não é composta pelos elementos atômicos individuais ou pelas unidades linguísticas que podem mudar sua interpretação baseada em elementos posteriores no enunciado. Além disso, as palavras são entendidas apenas no contexto da sentença cujo significado como um todo é conhecido. Seu argumento para isso foi baseado na aquisição da linguagem, por exemplo, considere uma criança observando a troca abaixo:

adulto mais velho (uttama-vṛddha “adulto”): diz “traga o cavalo”
adulto mais jovem (madhyama-vṛddha “semi-adulto”): reage trazendo o cavalo

A criança que observa isso agora pode aprender que a unidade “cavalo” se refere ao animal. A menos que a criança soubesse que a frase significa a priori, seria difícil deduzir o significado de novas palavras. Assim, apreendemos o significado da sentença como um todo e alcançamos as palavras como partes da sentença, e os significados das palavras como partes da sentença por meio de “análise, síntese e abstração” (apoddhāra).

A teoria sphoṭa foi influente, mas foi contestada por muitas outras. Mais tarde, Mimamsakas como Kumarila Bhatta (c. 650 dC) rejeitaram fortemente a visão vākyasphoṭa e argumentaram pelo poder denotativo de cada palavra, argumentando pela composição de significados (abhihitānvaya). A escola Prabhakara (c. 670) entre Mimamsakas, no entanto, assumiu uma posição menos atomística, argumentando que os significados das palavras existem, mas são determinados pelo contexto (anvitābhidhāna).

Em uma seção do capítulo sobre Relação, Bhartrhari discute o paradoxo do mentiroso e identifica um parâmetro oculto que transforma uma situação sem problemas na vida cotidiana em um paradoxo teimoso. Além disso, Bhartrhari discute aqui um paradoxo que foi chamado de “paradoxo de Bhartrhari” por Hans e Radhika Herzberger. Este paradoxo surge da afirmação “isto é inominável” ou “isto é insignificável”.

O Mahābhāṣya-dīpikā (também Mahābhāṣya-ṭīkā) é um subcomentário inicial do Vyākaraṇa-Mahābhāṣya de Patanjali, também atribuído a Bhartṛhari.

Śatakatraya
A poesia de Bhartrihari é aforística e comenta os costumes sociais da época. O trabalho coletado é conhecido como Śatakatraya “os três śatakas ou ‘centenas’ (‘séculos’)”, consistindo de três compilações temáticas sobre shringara, vairagya e niti (vagamente: amor, desapego e conduta moral) de cem versos cada.

Infelizmente, as versões manuscritas existentes desses shatakas variam muito nos versículos incluídos. DD Kosambi identificou um kernel de duzentos que é comum a todas as versões.

Aqui está um exemplo que comenta os costumes sociais:
Um homem rico é considerado nascido
Sábio acadêmico e exigente
Eloquente e até bonito –
Todas as virtudes são acessórios para o ouro!

E aqui está um que lida com o tema do amor:

A chama clara e brilhante do discernimento de um homem morre
Quando uma garota nubla-o com seus olhos negros. [Bhartrihari # 77, tr. John Brough; poema 167]

Paradoxo de Bhartrhari
O paradoxo de Bhartrhari é o título de um artigo de 1981 de Hans e Radhika Herzberger que chamou a atenção para a discussão de paradoxos auto-referenciais no trabalho que Vākyapadīya atribuiu a Bhartṛhari, um gramático indiano do século V.

No capítulo que trata das relações lógicas e linguísticas, o Sambandha-samuddeśa, Bhartrhari discute várias declarações de natureza paradoxal, incluindo sarvam mithyā bravīmi “tudo o que estou dizendo é falso”, que pertence à família dos mentirosos, bem como o paradoxo que surge da afirmação de que algo é inominável ou insignificável (em sânscrito: avācya): isso se torna nominável ou significável precisamente chamando-o de inominável ou insignificável. Quando aplicado a números inteiros, o último é conhecido hoje como paradoxo de Berry.

O interesse de Bhartrhari não reside em fortalecer esse e outros paradoxos abstraindo-os do contexto pragmático, mas em explorar como um paradoxo teimoso pode surgir de situações sem problemas na comunicação diária.

Uma situação sem problemas de comunicação é transformada em paradoxo – temos contradição (virodha) ou regressão infinita (anavasthā) – quando a abstração é feita a partir da significação e sua extensão no tempo, aceitando uma função simultânea e oposta (apara vyāpāra) o anterior.

Para Bhartrhari, é importante analisar e resolver o paradoxo da insignificabilidade, porque ele afirma que o que não pode ser significado pode, no entanto, ser indicado (vyapadiśyate) e pode ser entendido (pratīyate) que existe.

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Paradoxo do barbeiro

O paradoxo do barbeiro é um quebra-cabeça derivado do paradoxo de Russell. Foi usado pelo próprio Bertrand Russell como uma ilustração do paradoxo, embora ele o atribua a uma pessoa sem nome que o sugeriu. O quebra-cabeça mostra que um cenário aparentemente plausível é logicamente impossível. Especificamente, descreve um barbeiro definido de tal maneira que ele se barbeia e não se barbeia.

Paradoxo
O barbeiro é “aquele que barbeia todos aqueles e somente aqueles que não se barbeiam”. A questão é: o barbeiro se barbeia?

Responder a essa pergunta resulta em uma contradição. O barbeiro não pode fazer a barba, pois só faz a barba daqueles que não fazem a barba. Assim, se ele se barbeia, deixa de ser o barbeiro. Por outro lado, se o barbeiro não se barbear, ele se encaixa no grupo de pessoas que seriam barbeadas pelo barbeiro e, portanto, como barbeiro, ele deve se barbear.

História
Esse paradoxo é frequentemente atribuído incorretamente a Bertrand Russell (por exemplo, por Martin Gardner em Aha!). Foi sugerido a Gardner como uma forma alternativa do paradoxo de Russell, que Russell havia planejado para mostrar que a teoria dos conjuntos usada por Georg Cantor e Gottlob Frege continha contradições. No entanto, Russell negou que o paradoxo do barbeiro fosse um exemplo dele:

Essa contradição [paradoxo de Russell] é extremamente interessante. Você pode modificar sua forma; algumas formas de modificação são válidas e outras não. Uma vez tive uma forma sugerida para mim que não era válida, a saber, se o barbeiro se barbeia ou não. Você pode definir o barbeiro como “aquele que barbeia todos aqueles e somente aqueles que não se barbeiam”. A questão é: o barbeiro se barbeia? Nesta forma, a contradição não é muito difícil de resolver. Mas, em nossa forma anterior, acho claro que você só pode contornar isso observando que toda a questão de saber se uma classe é ou não um membro de si mesma é um disparate, ou seja, que nenhuma classe é ou não é um membro de si mesma. , e que nem sequer é verdade dizer isso, porque toda a forma de palavras é apenas ruído sem significado.
– Bertrand Russell, A Filosofia do Atomismo Lógico

Este ponto é elaborado mais adiante nas versões aplicadas do paradoxo de Russell.

Declaração
Podemos afirmar o paradoxo da seguinte maneira:

O conselho municipal de uma vila vota um decreto municipal que ordena que seu barbeiro (masculino) faça a barba de todos os habitantes masculinos da vila que não se barbeiam e somente estes.

O barbeiro, que é morador da vila, não pôde respeitar esta regra porque:

Se ele se barbeia, ele infringe a regra, porque o barbeiro só pode barbear homens que não se barbearam;
Se ele não se barbeia – se barbeia ou mantém a barba – ele também é culpado, porque é responsável por barbear homens que não se barbearam.
Esta regra é, portanto, inaplicável. No entanto, isso é um paradoxo? Não há razão para acreditar que um conselho da aldeia ou qualquer outro órgão possa ser a fonte de uma lei absurda. De fato, longe de ser uma antinomia lógica, esse “paradoxo” mostra simplesmente que um barbeiro respeitando essa regra não pode existir. É uma ilustração do que, se R é uma relação binária arbitrária (neste caso “… barbear…”), a seguinte declaração, escrita em linguagem formal:

∃ ∃ y ∀ x (y R x ¬ x R x)
é uma fórmula universalmente válida para calcular predicados de primeira ordem. Vamos nos referir ao artigo sobre o paradoxo de Russell para ver por que isso pode levar, no caso da relação de associação em uma teoria dos conjuntos ingênua a uma antinomia real, ou seja, a uma contradição demonstrada na teoria.

Como de fato se aplica a qualquer relação (binária), pode-se dar, com mais ou menos felicidade, múltiplas variantes. Vamos citar este, devido a Martin Gardner: é logicamente possível escrever um catálogo que lista todos os catálogos que não se listam e somente estes? A resposta é não, pois esse catálogo não pode ser listado nem pode ser listado.

Na lógica de primeira ordem
{\ displaystyle (\ existe x) ({\ text {person}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {person}} (y) \ rightarrow ({\ text {shaves}} (x, y) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (y, y))))}}
Esta frase é insatisfatória (uma contradição) por causa do quantificador universal(\para todos ). O quantificador universal y incluirá todos os elementos do domínio, incluindo o nosso infame barbeiro x. Portanto, quando o valor x é atribuído a y, a frase pode ser reescrita para{\ text {shaves}} (x, x) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (x, x), que é um exemplo da contradiçãoa \ leftrightarrow \ neg a.

Variantes
Existem muitas variantes do paradoxo, por exemplo:

O barbeiro de Sevilha faz a barba de todos os homens de Sevilha, exceto os que se barbearam. Essa decoração não fornece a definição insensata de Russell, mas implica apenas que o barbeiro não é um homem de Sevilha (talvez uma barbearia ou um barbeiro trabalhando lá de uma cidade vizinha).

Um comando paradoxal: “Todos os prefeitos não podem morar em sua própria cidade, mas precisam se mudar para a cidade especialmente estabelecida de Bümstädt. Onde agora mora o prefeito de Bümstädt? ”

Abordagem da antinomia russa: Uma biblioteca deseja criar um catálogo bibliográfico que lista todos os catálogos bibliográficos que não contêm uma referência para si mesmos. Este catálogo também deve ser listado? Nesse caso, ele recebe uma referência a si mesmo e ainda não pertence ao conjunto de catálogos listados. Caso contrário, ele não contém nenhuma referência a si mesmo e ainda pertence a esse conjunto.

O antigo sofisma de Euathlos também está relacionado.

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Paradoxo inesperado de suspensão

O paradoxo inesperado de enforcamento ou paradoxo da forca é um paradoxo sobre as expectativas de uma pessoa sobre o momento de um evento futuro, que dizem que ocorrerá em um momento inesperado. O paradoxo é aplicado de várias formas ao enforcamento de um prisioneiro ou a um teste surpresa na escola. Pode ser reduzido ao paradoxo de Moore.

Apesar do interesse acadêmico significativo, não há consenso sobre sua natureza precisa e, conseqüentemente, uma resolução final correta ainda não foi estabelecida. A análise lógica sugere que o problema surge em uma declaração de auto-referência auto-contraditória no coração da sentença do juiz. Estudos epistemológicos do paradoxo sugeriram que ele se volta para o nosso conceito de conhecimento. Embora aparentemente seja simples, as complexidades subjacentes do paradoxo levaram até a ser chamado de “problema significativo” para a filosofia.

Descrição do paradoxo
O paradoxo foi descrito da seguinte maneira:

Um juiz diz a um prisioneiro condenado que ele será enforcado ao meio-dia em um dia da semana da semana seguinte, mas que a execução será uma surpresa para o prisioneiro. Ele não saberá o dia do enforcamento até o carrasco bater à porta da cela ao meio-dia daquele dia.

Tendo refletido sobre sua sentença, o prisioneiro tira a conclusão de que ele escapará do enforcamento. Seu raciocínio está em várias partes. Ele começa concluindo que o “enforcamento surpresa” não pode ser na sexta-feira, como se não tivesse sido enforcado na quinta-feira, resta apenas um dia – e, portanto, não será uma surpresa se ele for enforcado na sexta-feira. Como a sentença do juiz estipulou que o enforcamento seria uma surpresa para ele, ele conclui que não pode ocorrer na sexta-feira.

Ele então argumenta que o enforcamento surpresa também não pode ser na quinta-feira, porque sexta-feira já foi eliminada e se ele não foi enforcado até o meio-dia de quarta-feira, o enforcamento deve ocorrer na quinta-feira, fazendo com que o enforcamento de quinta-feira também não seja uma surpresa. Por um raciocínio semelhante, ele conclui que o enforcamento também não pode ocorrer na quarta, terça ou segunda-feira. Com alegria, ele se retira para a cela, confiante de que o enforcamento não ocorrerá.

Na semana seguinte, o carrasco bate à porta do prisioneiro ao meio-dia da quarta-feira – o que, apesar de tudo acima, foi uma grande surpresa para ele. Tudo o que o juiz disse se tornou realidade.

Outras versões do paradoxo substituem a sentença de morte por um treinamento surpresa contra incêndio, exame, teste pop, lançamento de teste A / B ou um leão atrás de uma porta.

Representações clássicas
O paradoxo é mencionado pela primeira vez na edição de julho de 1948 da revista filosófica inglesa Mind. A variante existe: um comandante militar anunciou um blecaute total (“blecaute de classe A”) na próxima semana, e os afetados só devem descobrir isso depois das 6:00 do dia correspondente.

O paradoxo circula oralmente desde 1943, o mais tardar. O rádio sueco havia anunciado em 1943 ou 1944, um exercício de ataque aéreo que ocorreria na semana seguinte. Foi acrescentado que ninguém poderia prever quando isso aconteceria, mesmo na manhã do dia da prática. Lennart Ekbom, professor de matemática no Östermalms College, em Estocolmo, tomou conhecimento das dificuldades lógicas envolvidas.

Michael Scriven, professor de lógica científica da Universidade de Indiana, discutiu o paradoxo como “novo e poderoso paradoxo” em 1951, também em mente.

Nas representações clássicas, o paradoxo é retratado usando o exemplo de alguém condenado à morte. As versões desativadas substituem a execução do prisioneiro por um teste surpresa anunciado aos estudantes em um futuro próximo.

Paradoxo do carrasco
Um preso é condenado a ser executado dentro de uma semana (de segunda a domingo). As execuções sempre ocorrem ao meio-dia. Ele não é informado no dia da execução para mantê-lo ansioso. Ele também é informado de que o compromisso é completamente inesperado para ele. No entanto, ele considera: “Se eu sobreviver ao meio dia no penúltimo dia da semana, tenho que ser executado ao meio dia no último dia, mas isso não seria inesperado. Portanto, o último compromisso possível pode ser excluído. Se eu ainda morar ao meio-dia antes da penúltima data, a execução poderá ser agendada para a última ou penúltima data, mas eu já descartei a última, portanto, existe apenas a penúltima; no entanto, isso não seria inesperado. E assim por diante: ainda moro ao meio-dia antes do segundo último compromisso,

Teste inesperado
Uma professora diz à turma: “Na próxima semana, você fará um teste completamente surpreendente sobre esse assunto!” Uma das crianças acha que isso é impossível. Ela diz: “A turma tem esse assunto às segundas, quintas e sextas-feiras. Se o teste for escrito na sexta-feira, não é surpreendente, mas previsível na quinta-feira após a aula. O teste é realizado na quinta-feira? Não, porque eu já excluí sexta-feira e segunda-feira já acabou e também pode ser excluída. Portanto, o teste deve ser na segunda-feira e não seria surpreendente. A professora ainda pode fazer seu anúncio verdadeiro?

Wissensparadox
Segundo Kaplan e Montague, o paradoxo pode ser reduzido ao chamado “paradoxo do conhecedor” (paradoxo do conhecimento), que consiste na seguinte frase: “Sabe-se que esta frase está errada”.

Análises
Além de resolver o paradoxo, surge a questão de saber onde está o erro na lógica do prisioneiro, que assume que ele sobreviverá.

1. Análise: O erro do prisioneiro consiste em realizar uma etapa de indução depois que ele reconhece uma contradição. Basicamente, você pode deduzir tudo de algo errado, incluindo a sobrevivência (não aplicável). Se o prisioneiro ainda estiver vivo no domingo de manhã, ele sabe que uma das duas declarações feitas pelo guarda (“Você será executado até domingo o mais tardar” e “Você não saberá no dia anterior”) estava errada. Como ele não sabe qual das duas afirmações estava errada, ele não pode tirar mais conclusões.

Obviamente, o prisioneiro pode tirar a conclusão: “Se as duas declarações da guarda forem verdadeiras, não vou mais experimentar o domingo”.

No sábado de manhã, existem as seguintes opções: “O carrasco vem hoje ou o guarda mentiu”. O prisioneiro não sabe qual das duas afirmações sobre o “ou” é verdadeira. Portanto, o carrasco pode vir “surpreendentemente” no sábado. E é claro, especialmente na sexta, quinta, quarta, terça ou segunda-feira.

2. Análise: Vamos supor que o prisioneiro ainda esteja vivo na noite de sábado: ele poderia prever com cem por cento de certeza que será executado no domingo? O paradoxo surge da resposta a essa pergunta com sim, mas a resposta correta é não. O prisioneiro assume que a afirmação de que ele será surpreendentemente executado na próxima semana é verdadeira; no entanto, se ele assume uma execução inesperada, mesmo no sábado à noite, não pode esperar ser executado no domingo, pois isso contradiz sua própria suposição. Logo, o prisioneiro pode ser surpreendentemente executado mesmo no domingo, com o qual seu raciocínio seria refutado.

Caso analógico: darei o livro que você solicitou e meu presente será uma surpresa. À primeira vista, apenas uma das duas promessas pode ser cumprida. Mas se a outra pessoa assume que minha afirmação está correta, é impossível prever que darei o livro correspondente, porque, do ponto de vista dessa pessoa, as duas afirmações parciais se contradizem, o que torna impossível uma previsão. Para que eu possa dar à pessoa o livro que ela queria como surpresa.

O erro lógico que transforma ambos os casos em paradoxos é a suposição de que uma previsão clara pode ser feita com base nos fatos. Isso não é verdade pelo simples motivo de que, nas duas vezes em que é feita a afirmação, é impossível prever. Como a veracidade dessa afirmação deve ser assumida, nenhum dia pode ser descartado (com base na situação do prisioneiro), uma vez que uma exclusão também é uma previsão clara, que contradiz a declaração surpresa e, portanto, não pode ser aceita. Em outras palavras, a declaração A execução é surpreendentemente automática de que a execução pode ocorrer em qualquer dia da semana; portanto, nem mesmo o domingo pode ser excluído.

3. Análise: O raciocínio lógico do prisioneiro ocorre como indução retroativa. isto é, ele começa sua linha de argumentação com a abordagem: “Se eu ainda morar no sábado à noite …” O argumento não poderá mais ser usado se ele não experimentar mais o sábado porque foi executado anteriormente. Seu raciocínio implica que ele ainda estará vivo para ter certeza ou surpresa. Ou, de outra forma: partindo do princípio de que a execução não ocorreu até o sábado, inclusive, pode-se concluir corretamente que o domingo também não é a data da execução. As conclusões adicionais são então derivadas desta primeira conclusão, a saber, que sábado, sexta-feira, quinta-feira etc. também devem ser excluídas. Como essas conclusões se baseiam umas nas outras e, portanto, finalmente na primeira, todas elas se aplicam apenas se o pré-requisito para a primeira conclusão for cumprido, a saber, que a execução não ocorreu até sábado. A linha de pensamento, portanto, prova apenas que o delinqüente não pode ser executado se ele sobreviver até a noite de sábado. Caso contrário, as conclusões simplesmente repetem sua suposição.

Escola lógica
A formulação do anúncio do juiz em lógica formal é dificultada pelo vago significado da palavra “surpresa”. Uma tentativa de formulação pode ser:

O prisioneiro será enforcado na próxima semana e a data (do enforcamento) não será deduzível na noite anterior, partindo do pressuposto de que o enforcamento ocorrerá durante a semana (A).

Dado este anúncio, o preso pode deduzir que o enforcamento não ocorrerá no último dia da semana. No entanto, para reproduzir a próxima etapa da discussão, que elimina o penúltimo dia da semana, o preso deve argumentar que sua capacidade de deduzir, a partir da afirmação (A), que o enforcamento não ocorrerá no último dia, implica que um enforcamento do segundo ao último dia não seria surpreendente. Mas como o significado de “surpreendente” foi restrito a não dedutível, partindo do pressuposto de que a interrupção ocorrerá durante a semana, em vez de não dedutível da declaração (A), o argumento é bloqueado.

Isso sugere que uma melhor formulação seria de fato:

O prisioneiro será enforcado na próxima semana e sua data não será deduzível na noite anterior usando esta declaração como axioma (B).

A Fitch mostrou que essa afirmação ainda pode ser expressa em lógica formal. Usando uma forma equivalente do paradoxo que reduz a duração da semana para apenas dois dias, ele provou que, embora a auto-referência não seja ilegítima em todas as circunstâncias, é nesse caso porque a afirmação é autocontraditória.

Escola epistemológica
Várias formulações epistemológicas foram propostas que mostram que as suposições tácitas do prisioneiro sobre o que ele saberá no futuro, juntamente com várias suposições plausíveis sobre o conhecimento, são inconsistentes.

Chow (1998) fornece uma análise detalhada de uma versão do paradoxo em que um enforcamento surpresa deve ocorrer em um dos dois dias. Aplicando a análise de Chow ao caso do enforcamento inesperado (novamente com a semana reduzida para dois dias por simplicidade), começamos com a observação de que o anúncio do juiz parece afirmar três coisas:

S1: A interrupção ocorrerá na segunda ou terça-feira.
S2: Se o enforcamento ocorrer na segunda-feira, o prisioneiro não saberá no domingo à noite que isso ocorrerá na segunda-feira.
S3: Se o enforcamento ocorrer na terça-feira, o preso não saberá na segunda-feira à noite que ocorrerá na terça-feira.

Como primeiro passo, o prisioneiro argumenta que um cenário em que o enforcamento ocorre na terça-feira é impossível porque leva a uma contradição: por um lado, por S3, o prisioneiro não seria capaz de prever a terça-feira pendurada na segunda-feira à noite; por outro lado, por S1 e processo de eliminação, o prisioneiro seria capaz de prever a terça-feira pendurada na noite de segunda-feira.

A análise de Chow aponta para uma falha sutil no raciocínio do prisioneiro. O que é impossível não é uma suspensão de terça-feira. Pelo contrário, o impossível é uma situação em que o enforcamento ocorre na terça-feira, apesar de o prisioneiro saber na segunda-feira à noite que as afirmações do juiz S1, S2 e S3 são verdadeiras.

O raciocínio do prisioneiro, que dá origem ao paradoxo, é capaz de decolar porque o prisioneiro assume tacitamente que, na segunda-feira à noite, ele (se ainda estiver vivo) saberá que S1, S2 e S3 são verdadeiros. Essa suposição parece injustificada por vários motivos diferentes. Pode-se argumentar que o pronunciamento do juiz de que algo é verdadeiro nunca pode ser motivo suficiente para o prisioneiro saber que é verdade. Além disso, mesmo que o prisioneiro saiba que algo é verdadeiro no momento presente, fatores psicológicos desconhecidos podem apagar esse conhecimento no futuro. Finalmente, Chow sugere que, como a afirmação que o prisioneiro “sabe” ser verdadeira é uma afirmação sobre sua incapacidade de “conhecer” certas coisas, há razões para acreditar que o inesperado paradoxo pendurado é simplesmente uma versão mais complexa de Paradoxo de Moore. Uma analogia adequada pode ser alcançada reduzindo-se a duração da semana para apenas um dia. Então a sentença do juiz se torna: você será enforcado amanhã, mas você não sabe disso.

Foi sugerido que a eliminação lógica do prisioneiro torna qualquer dia da semana um dia válido para a execução.

Comente
Esse paradoxo é tão perturbador porque, apesar do fato de os estudantes parecerem provar que a afirmação é autocontraditória, no final, é verdade. Várias resoluções foram sugeridas para ela.

Pode-se dizer que não está claro o que os alunos podem esperar e quando devem ser surpreendidos. Se os alunos são paranóicos e todos os dias pensam que farão o teste no dia seguinte, então obviamente não é uma surpresa e o paradoxo desaparece. Quando estudamos o paradoxo, não tendemos a oferecer a possibilidade de repetir sua decisão, ou seja, acreditamos que os alunos só podem escolher uma vez no dia do exame. No entanto, em seu raciocínio, os estudantes oferecem essa liberdade: “Se não a tivermos na quinta-feira, decidiremos que deve ser sexta-feira, então na quarta-feira decidiremos que seja quinta-feira…”.

Outra solução possível é comparar o ponto de vista dos alunos com o do resto do mundo. Podemos dizer que eles ficarão “surpresos” se não puderem provar de maneira razoável e consistente que isso ocorrerá dessa maneira, usando as reivindicações do professor como axiomas. Nesse caso, os alunos ficam realmente surpresos no momento do exame. Embora eles não tenham sido capazes de provar quando o teste será realizado, todos os outros observadores puderam. A contradição só apareceu quando os alunos tentaram provar.

Esse paradoxo é análogo ao paradoxo do mentiroso, no sentido de que seus axiomas são auto-referentes, ou seja, eles falam sobre sua própria veracidade. Difere disso porque adiciona um novo elemento, que indica que pessoa deve experimentá-los. A palavra “surpresa” é essencialmente um axioma que afirma que os estudantes não podem tentar certas coisas enquanto todo mundo faz. Isso significa que realmente não há paradoxo, pois é perfeitamente possível que possamos provar algo que os alunos não podem, devido à maneira como os axiomas se referem àquele que faz o teste.

É interessante notar que o Teorema da Incompletude de Gödel pode ser visto como uma maneira de traduzir o paradoxo do mentiroso em matemática formal, uma vez que ele encontrou uma maneira formal de deixar a referência dos axiomas. Não existe tal tradução para esse paradoxo, uma vez que axiomas formais não podem se referir a um observador específico dessa maneira.

Na literatura
O paradoxo aparece no romance Mr Mee, de Andrew Crumey:

Tissot mostrou um entendimento errado dos meus ensinamentos quando, exasperado por sua persistência melancolia e sua ocupação quase permanente da minha escrivaninha, eu lhe disse: ‘Na próxima semana vou trazer sua esposa aqui para que você possa falar com ela em pessoa e resolva suas dificuldades. Sei que você não quer vê-la e, portanto, não direi em que dia ela chegará; mas tenha certeza de que a encontrará antes que a semana termine.

Tissot sabia que sua esposa não seria levada a confrontá-lo na próxima sexta-feira, porque, naquele caso, ele poderia estar certo na quinta-feira à noite de que ela deveria estar vindo, e ele poderia se ausentar. Mas, igualmente, eu também teria que evitar a quinta-feira, pois, caso contrário, ele seria avisado quando a quarta-feira passasse sem uma cena. Demitindo todos os dias da mesma maneira, Tissot concluiu que sua esposa nunca poderia aparecer inesperadamente para discuti-lo; mas na quinta-feira ele atendeu a porta para ser recebido não só por ela, mas também por sua mãe, que lhe deu um tapinha forte nos ouvidos enquanto eu me fazia escasso, julgando silenciosamente que um lógico tão pobre merecia tudo o que tinha.

O paradoxo também aparece no romance infantil Mais Aritmética Lateral da Escola Wayside, de Louis Sachar. Em uma das histórias, a professora, a senhora Jewls, planeja fazer um teste na semana seguinte, mas não avisa a classe com antecedência. Ao contrário do paradoxo clássico, os estudantes que eliminam os dias um a um fazem com que a sra. Jewls abandone a idéia.