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Paradoxos

Paradoxo da vinculação

Como o mais conhecido dos paradoxos, e o mais formalmente simples, o paradoxo da vinculação é a melhor introdução.

Na linguagem natural, surge um exemplo do paradoxo da vinculação:

Está chovendo

E

Não está chovendo

Portanto

George Washington é feito de ancinhos.

Isso surge do princípio da explosão, uma lei da lógica clássica que afirma que premissas inconsistentes sempre tornam válido um argumento; isto é, premissas inconsistentes implicam qualquer conclusão. Isso parece paradoxal porque, embora o argumento acima seja um argumento logicamente válido, ele não é válido (nem todas as suas premissas são verdadeiras).

Construção
A validade é definida na lógica clássica da seguinte maneira:

Um argumento (consistindo em premissas e uma conclusão) é válido se e somente se não houver uma situação possível em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.
Por exemplo, um argumento válido pode ser executado:

Se estiver chovendo, a água existe (1ª premissa)
Está chovendo (2ª premissa)
Existe água (Conclusão)

Neste exemplo, não há situação possível em que as premissas sejam verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. Como não há contra-exemplo, o argumento é válido.

Mas alguém poderia construir um argumento em que as premissas são inconsistentes. Isso satisfaria o teste de um argumento válido, pois não haveria situação possível em que todas as premissas sejam verdadeiras e, portanto, nenhuma situação possível em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.

Por exemplo, um argumento com premissas inconsistentes pode ser executado:

Está definitivamente chovendo (1ª premissa; é verdade)
Não está chovendo (segunda premissa; falso)
George Washington é feito de ancinhos (Conclusão)

Como não há uma situação possível em que ambas as premissas possam ser verdadeiras, certamente não há uma situação possível em que as premissas possam ser verdadeiras enquanto a conclusão foi falsa. Portanto, o argumento é válido independentemente da conclusão; premissas inconsistentes implicam todas as conclusões.

Explicação
A estranheza do paradoxo da vinculação deriva do fato de que a definição de validade na lógica clássica nem sempre concorda com o uso do termo na linguagem comum. No uso diário, a validade sugere que as premissas são consistentes. Na lógica clássica, a noção adicional de solidez é introduzida. Um argumento sólido é um argumento válido com todas as premissas verdadeiras. Portanto, um argumento válido com um conjunto inconsistente de premissas nunca pode ser válido. Uma melhoria sugerida para a noção de validade lógica para eliminar esse paradoxo é a lógica relevante.

Simplificação
As fórmulas clássicas do paradoxo estão intimamente ligadas à fórmula,

p ∧ q → p
o princípio da simplificação, que pode ser derivado das fórmulas paradoxais com bastante facilidade (por exemplo, de (1) por importação). Além disso, há sérios problemas ao tentar usar as implicações materiais como representando o inglês “se … então …”. Por exemplo, a seguir, são inferências válidas:

(p → q) ∧ (r → s) ⊢ (p → s) ∨ (r → q)
(p ∧ q) → r ⊢ (p → r) ∨ (q → r)}
mas mapear essas frases de volta para as frases em inglês usando “se” dá paradoxos. A primeira pode ser lida: “Se John está em Londres, ele está na Inglaterra, e se ele está em Paris, ele está na França. Portanto, é verdade que (a) se John está em Londres, então ele está na França, ou (b) que, se ele está em Paris, ele está na Inglaterra. ” Usando implicação material, se John realmente está em Londres, então (já que ele não está em Paris) (b) é verdadeiro; enquanto que se ele estiver em Paris, (a) é verdade. Como ele não pode estar nos dois lugares, a conclusão de que pelo menos um de (a) ou (b) é verdadeiro é válida.

Mas isso não corresponde ao modo como “se … então …” é usado em linguagem natural: o cenário mais provável em que alguém diria “Se John está em Londres, ele está na Inglaterra” é se não se sabe onde John está, mas no entanto, sabe que se ele está em Londres, ele está na Inglaterra. Sob essa interpretação, ambas as premissas são verdadeiras, mas ambas as cláusulas da conclusão são falsas.

O segundo exemplo pode ser lido “Se os interruptores A e B estiverem fechados, a luz estará acesa. Portanto, é verdade que, se o interruptor A estiver fechado, a luz estiver acesa, ou se o interruptor B estiver fechado, a luz estará acesa. ” Aqui, a interpretação em linguagem natural mais provável das declarações “se … então …” seria “sempre que o interruptor A estiver fechado, a luz estiver acesa” e “sempre que o interruptor B estiver fechado, a luz estará acesa”. Novamente, sob essa interpretação, ambas as cláusulas da conclusão podem ser falsas (por exemplo, em um circuito em série, com uma luz que só acende quando os dois interruptores estão fechados).

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Paradoxo do bebedor

O paradoxo do bebedor (também conhecido como teorema do bebedor, princípio do bebedor ou princípio da bebida) é um teorema da lógica clássica dos predicados que pode ser declarado como “Há alguém no pub que, se ele estiver bebendo, todos os o bar está bebendo. Foi popularizado pelo lógico matemático Raymond Smullyan, que o chamou de “princípio da bebida” em seu livro de 1978 Qual é o nome deste livro?

A natureza aparentemente paradoxal da afirmação vem da maneira como geralmente é afirmada na linguagem natural. Parece contraditório que possa haver uma pessoa que esteja fazendo com que os outros bebam, ou que possa haver uma pessoa que, durante toda a noite em que uma pessoa sempre tenha sido a última a beber. A primeira objeção vem de confundir declarações formais de “se então” com causalidade (consulte Correlação não implica lógica de causalidade ou Relevância para lógicas que exigem relações relevantes entre premissa e conseqüente, diferentemente da lógica clássica assumida aqui). A afirmação formal do teorema é atemporal, eliminando a segunda objeção, porque a pessoa que a afirmação é verdadeira por um instante não é necessariamente a mesma pessoa que ela é verdadeira em qualquer outro instante.

A declaração formal do teorema é

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)]
onde D é um predicado arbitrário e P é um conjunto não vazio arbitrário.

Provas
A prova começa reconhecendo que é verdade que todo mundo no bar está bebendo ou pelo menos uma pessoa no pub não está bebendo. Consequentemente, há dois casos a serem considerados:

Suponha que todos estejam bebendo. Para qualquer pessoa em particular, não pode ser errado dizer que, se essa pessoa está bebendo, todos no pub estão bebendo – porque todo mundo está bebendo. Porque todo mundo está bebendo, então essa pessoa deve beber, porque quando essa pessoa bebe todo mundo bebe, todo mundo inclui essa pessoa.
Caso contrário, pelo menos uma pessoa não está bebendo. Para qualquer pessoa que não bebe, a afirmação se essa pessoa em particular está bebendo, então todos no bar estão bebendo formalmente verdade: seu antecedente (“essa pessoa em particular está bebendo”) é falso, portanto, a afirmação é verdadeira devido à natureza do material implicação na lógica formal, que afirma que “Se P, então Q” é sempre verdadeiro se P for falso. (Dizem que esses tipos de afirmações são vacuamente verdadeiros.)
Uma maneira um pouco mais formal de expressar o que foi dito acima é dizer que, se todo mundo bebe, qualquer um pode ser testemunha da validade do teorema. E se alguém não bebe, esse indivíduo que não bebe pode ser testemunha da validade do teorema.

Explicação da paradoxalidade
O paradoxo é finalmente baseado no princípio da lógica formal de que a afirmação A → B é verdadeira sempre que A é falsa, ou seja, qualquer afirmação segue de uma afirmação falsa (ex falso quodlibet).

O que é importante para o paradoxo é que o condicional na lógica clássica (e intuicionista) é o condicional material. Tem a propriedade de que A → B é verdadeiro se B for verdadeiro ou se A for falso (na lógica clássica, mas não na lógica intuicionista, esta também é uma condição necessária).

Portanto, como foi aplicada aqui, a afirmação “se ele está bebendo, todo mundo está bebendo” foi considerada correta em um caso, se todo mundo estava bebendo e, no outro caso, se ele não estava bebendo – mesmo que ele possa beber não teve nada a ver com a bebida de outra pessoa.

Por outro lado, na linguagem natural, normalmente “se … então …” é usado como condicional indicativo.

História e variações
Smullyan, em seu livro de 1978, atribui a nomeação de “O princípio da bebida” a seus alunos de pós-graduação. Ele também discute variantes (obtidas substituindo D por outros predicados mais dramáticos):

“Existe uma mulher na terra que, se ela se tornar estéril, toda a raça humana desaparecerá”. Smullyan escreve que essa formulação surgiu de uma conversa que ele teve com o filósofo John Bacon.
Uma versão “dupla” do Princípio: “existe pelo menos uma pessoa que, se alguém bebe, então ele bebe”.

Como “princípio dos bebedores ‘de Smullyan” ou apenas “princípio dos bebedores”, ele aparece em “A busca pela correção”, de HP Barendregt (1996), acompanhada de algumas provas de máquina. Desde então, ele apareceu regularmente como exemplo em publicações sobre raciocínio automatizado; às vezes é usado para contrastar a expressividade dos assistentes de prova

Domínio não vazio
No cenário com domínios vazios permitidos, o paradoxo do bebedor deve ser formulado da seguinte maneira:

Um conjunto P satisfaz

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)],
se e somente se não estiver vazio.

Ou em palavras:

Se e somente se houver alguém no pub, há alguém no pub de tal forma que, se ele estiver bebendo, todos estarão no pub.

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Paradoxo da lógica Catch-22

Um catch-22 é uma situação paradoxal da qual um indivíduo não pode escapar por causa de regras ou limitações contraditórias. O termo foi cunhado por Joseph Heller, que o usou em seu romance de 1961, Catch-22.

Um exemplo é:

Precisando de experiência para conseguir um emprego … ”Como posso obter alguma experiência até conseguir um emprego que me dê experiência?” – Brantley Foster em O segredo do meu sucesso.

Os catch-22s geralmente resultam de regras, regulamentos ou procedimentos aos quais um indivíduo está sujeito, mas não tem controle, porque combater a regra é aceitá-la. Outro exemplo é uma situação em que alguém precisa de algo que só pode ser obtido por não precisar dele (por exemplo, a única maneira de se qualificar para um empréstimo é provar ao banco que você não precisa de um empréstimo). ) Uma conotação do termo é que os criadores da situação “catch-22” criaram regras arbitrárias para justificar e ocultar seu próprio abuso de poder.

Origem e significado
Joseph Heller cunhou o termo em seu romance Catch-22, de 1961, que descreve restrições burocráticas absurdas aos soldados na Segunda Guerra Mundial. O termo é introduzido pelo personagem Doc Daneeka, um psiquiatra do exército que invoca o “Catch-22” para explicar por que qualquer piloto que solicita avaliação mental para insanidade – esperando ser encontrado não é o suficiente para voar e, assim, escapar de missões perigosas – demonstra sua própria sanidade. na criação da solicitação e, portanto, não pode ser declarado insano. Essa frase também significa um dilema ou circunstância difícil da qual não há escapatória devido a condições mutuamente conflitantes ou dependentes.

“Você quer dizer que há um problema?”

“Claro que há um problema”, respondeu Doc Daneeka. “Catch-22. Quem quer sair do serviço de combate não é realmente louco.

Havia apenas uma captura e a Catch-22, que especificava que uma preocupação com a própria segurança diante de perigos reais e imediatos era o processo de uma mente racional. Orr estava louco e poderia ser aterrado. Tudo o que ele precisava fazer era perguntar; e assim que o fizesse, não ficaria mais louco e teria que fazer mais missões. Orr seria louco por voar mais missões e sã se não o fizesse, mas se ele estivesse sã, ele teria que voar nelas. Se ele voou com eles, estava louco e não precisava; mas se ele não queria, ele era são e precisava. Yossarian ficou profundamente emocionado com a absoluta simplicidade desta cláusula do Catch-22 e soltou um assovio respeitoso.

Diferentes formulações de “Catch-22” aparecem ao longo do romance. O termo é aplicado a várias brechas e peculiaridades do sistema militar, sempre com a implicação de que as regras são inacessíveis e inclinadas contra as mais baixas da hierarquia. No capítulo 6, Yossarian (o protagonista) é informado de que o Catch-22 exige que ele faça qualquer coisa que seu oficial comandante o peça, independentemente de essas ordens contradizerem as ordens dos superiores do oficial.

Em um episódio final, Catch-22 é descrito a Yossarian por uma velha contando um ato de violência de soldados:

“O Catch-22 diz que eles têm o direito de fazer qualquer coisa que não possamos impedi-los de fazer.”

“Que diabos você está falando?” Yossarian gritou com ela em protesto confuso e furioso. “Como você sabia que era o Catch-22? Quem diabos disse a você que era o Catch-22?

“Os soldados com os duros chapéus e clubes brancos. As meninas estavam chorando. “Fizemos algo errado?” eles disseram. Os homens disseram que não e os empurraram para fora da porta com as extremidades de seus clubes. “Então por que você está nos perseguindo?” as meninas disseram. “Catch-22”, disseram os homens. Tudo o que eles continuavam dizendo era ‘Catch-22, Catch-22’. O que significa, Catch-22? O que é o Catch-22?

“Eles não mostraram para você?” Yossarian exigiu, andando com raiva e angústia. “Você nem os fez ler?”

“Eles não precisam nos mostrar o Catch-22”, respondeu a velha. “A lei diz que eles não precisam.”

“Que lei diz que eles não precisam?”

“Catch-22”.

De acordo com o professor de literatura Ian Gregson, a narrativa da velha define “Catch-22” mais diretamente como a “operação brutal do poder”, eliminando a “sofisticação falsa” dos cenários anteriores.

Outras aparições no romance

Além de se referir a um dilema lógico insolúvel, o Catch-22 é invocado para explicar ou justificar a burocracia militar. Por exemplo, no primeiro capítulo, exige que Yossarian assine seu nome com letras que ele censura enquanto está confinado a uma cama de hospital. Uma cláusula mencionada no capítulo 10 fecha uma brecha nas promoções, que um particular estava explorando para recuperar a classificação atraente de Primeira Classe Privada após qualquer promoção. Por meio de tribunais marciais por não obter AWOL, ele seria preso de volta ao privado, mas o Catch-22 limitava o número de vezes que ele podia fazer isso antes de ser enviado para a paliçada.

Em outro ponto do livro, uma prostituta explica a Yossarian que ela não pode se casar com ele porque ele é louco, e ela nunca se casará com um homem louco. Ela considera louco qualquer homem que se case com uma mulher que não é virgem. Esse laço lógico fechado ilustrou claramente o Catch-22 porque, por sua lógica, todos os homens que se recusam a casar com ela são sensatos e, portanto, ela consideraria o casamento; mas assim que um homem concorda em se casar com ela, fica louco por querer se casar com uma não-virgem e é instantaneamente rejeitado.

A certa altura, o capitão Black tenta pressionar Milo a privar o major-major de comida como consequência de não assinar um juramento de lealdade ao fato de que o major-major nunca teve a oportunidade de assinar em primeiro lugar. O capitão Black pergunta a Milo: “Você não é contra o Catch-22, é?”

No capítulo 40, o Catch-22 obriga os coronéis Korn e Cathcart a promover Yossarian para Major e a castigá-lo, em vez de simplesmente enviá-lo para casa. Eles temem que, se não o fizerem, outros se recusarão a voar, assim como Yossarian.

Significado do número 22
Heller originalmente queria chamar a frase (e, portanto, o livro) por outros números, mas ele e seus editores acabaram decidindo por 22. O número não tem significado particular; foi escolhido mais ou menos para eufonia. O título era originalmente Catch-18, mas Heller mudou depois que o popular Mila 18 foi publicado pouco tempo antes.

Uso
O termo “catch-22” foi filtrado para uso comum no idioma inglês. Em uma entrevista em 1975, Heller disse que o termo não se traduziria bem em outros idiomas.

James E. Combs e Dan D. Nimmo sugerem que a idéia de um “catch-22” ganhou dinheiro popular porque muitas pessoas na sociedade moderna estão expostas a uma lógica burocrática frustrante. Eles escrevem:

Todo mundo, então, que lida com organizações entende a lógica burocrática do Catch-22. No ensino médio ou na faculdade, por exemplo, os alunos podem participar do governo estudantil, uma forma de autogoverno e democracia que lhes permite decidir o que quiserem, desde que o diretor ou reitor dos alunos aprove. Essa falsa democracia que pode ser anulada por decreto arbitrário talvez seja o primeiro encontro de um cidadão com organizações que professam valores “abertos” e libertários, mas na verdade são sistemas fechados e hierárquicos. Catch-22 é uma suposição organizacional, uma lei não escrita do poder informal que isenta a organização de responsabilidade e prestação de contas e coloca o indivíduo na posição absurda de ser excedido pela conveniência ou por objetivos desconhecidos da organização.

Juntamente com o “duplo pensamento” de George Orwell, o “Catch-22” se tornou uma das maneiras mais reconhecidas de descrever a situação de ficar preso por regras contraditórias.

Um tipo significativo de definição de medicina alternativa foi denominado catch-22. Em um editorial de 1998, em co-autoria de Marcia Angell, ex-editora do New England Journal of Medicine, argumentou que:

“Chegou a hora da comunidade científica parar de dar uma carona à medicina alternativa. Não pode haver dois tipos de medicamento – convencional e alternativo. Existe apenas remédios que foram testados adequadamente e remédios que não foram, remédios que funcionam e remédios que podem ou não funcionar. Depois que um tratamento é testado rigorosamente, não importa mais se foi considerado alternativo desde o início. Se for considerado razoavelmente seguro e eficaz, será aceito. Mas afirmações, especulações e depoimentos não substituem evidências. Os tratamentos alternativos devem ser submetidos a testes científicos não menos rigorosos do que os exigidos para tratamentos convencionais. ”

Essa definição foi descrita por Robert L. Park como uma captura lógica 22, que garante que qualquer método de medicina complementar e alternativa (CAM) comprovadamente funcione “não seria mais CAM, seria simplesmente medicina”.

Uso em pesquisa científica
Na pesquisa, Catch-22 reflete a frustração do cientista com incógnitas conhecidas, das quais a computação quântica é um excelente exemplo: se dois elétrons são emaranhados de modo que, se uma medida identifica o primeiro elétron em uma posição ao redor do círculo, o outro deve ocupar uma posição diretamente. do outro lado do círculo, (um relacionamento que se mantém quando estão um ao lado do outro e quando estão separados por anos-luz). O Catch-22 da computação quântica é que os recursos quânticos funcionam apenas quando não estão sendo observados; portanto, observar um computador quântico para verificar se está explorando o comportamento quântico destruirá o comportamento quântico que está sendo verificado. O princípio da incerteza de Heisenberg nos impede de conhecer a posição e o momento de uma partícula simultaneamente – se você mede uma propriedade, destrói informações sobre a outra.

Regulamento Geral de Proteção de Dados da CE: O amplo regulamento de privacidade da UE impõe limitações ao desenvolvimento de inteligência artificial, que depende muito de (grandes) dados. Além de suas restrições à coleta de dados do usuário, o GDPR garante que, mesmo que uma empresa colete dados pessoais, seu uso para a tomada de decisões automatizada – um aplicativo padrão de IA – seja limitado. O artigo 22 determina que um usuário pode optar por não receber o processamento automatizado. Nesse caso, a empresa deve fornecer uma alternativa revisada por humanos que obedece aos desejos do usuário. Quando a automação é usada, ela deve ser explicada claramente ao usuário, e sua aplicação ainda pode ser punida por ambiguidade ou por violar outras regulamentações, tornando o uso da IA ​​um Catch-22 para organismos compatíveis com GDPR.

Inteligência artificial: Como indicado acima, a IA depende de grandes quantidades de dados verificados, a maioria dos quais é corretamente considerada privada por razões pessoais ou comerciais. Isso leva a um problema, resultante da entrada inadvertida de dados aparentemente inócuos ou protegidos em sites seguros. Assim, usando dezenas de pedidos de “direito de acesso”, o pesquisador James Pavur, de Oxford, descobriu que podia acessar informações pessoais – desde históricos de compras, dígitos de cartão de crédito até endereços residenciais passados ​​e presentes – de várias empresas britânicas e americanas sem ao menos verificar sua identidade. Nos campos comerciais, várias manobras para acumular dados úteis para a IA são onipresentes. O acesso a dados de treinamento de alta qualidade é fundamental para startups que usam o aprendizado de máquina como a principal tecnologia de seus negócios. De acordo com Moritz Mueller-Freitag, “Embora muitos algoritmos e ferramentas de software sejam de código aberto e compartilhados com a comunidade de pesquisa, bons conjuntos de dados geralmente são proprietários e difíceis de construir. Possuir um grande conjunto de dados específico do domínio pode, portanto, tornar-se uma fonte significativa de vantagem competitiva. ” A entrada do usuário inclui até interfaces de usuário inócuas que incentivam os usuários a corrigir erros, como Mapillary e reCAPTCHA. Assim, o usuário da web é preparado progressivamente para cooperar na construção da IA ​​em troca de acesso a informações não verificáveis, enquanto seus direitos são extintos ao concordar com termos e condições insondáveis.

O problema de incógnitas desconhecidas: Essa é uma espécie de situação inversa do Catch-22, na qual Yossarian de Joseph Heller ainda não sabe que o homem-bomba que ele tinha medo de tripular esta noite foi abatido na noite passada. Uma deficiência semelhante explica por que os cientistas não descobriram uma cura para a doença de Alzheimer; – eles não sabem exatamente o que é. Eles podem ver o que acontece com os pacientes e prever o que acontecerá, mas não entendem suas causas finais, por que isso afeta as pessoas ou por que os sintomas pioram com o tempo.

Avaliando novas interpretações submetidas a revistas científicas: Se novos conhecimentos de novos estudos forem apresentados no contexto dos conhecimentos existentes, esse processo permitirá que a credibilidade das conclusões resultantes seja estabelecida. Como o conhecimento é evolutivo por natureza, o conhecimento anterior geralmente forma uma base para incrementos posteriores. No entanto, as restrições acadêmicas geralmente inclinam os pesquisadores a evitar Pensar fora da caixa. Isso leva a um problema Catch-22 para pesquisadores que buscam reinterpretar estudos anteriores, fazendo deduções de dados existentes que divergem de interpretações amplamente aprovadas. Por exemplo, o entendimento atual das camadas de gelo do Pleistoceno na América do Norte e na Europa baseia-se, em última instância, na interpretação de Agassiz, em 1842, de uma espessa mer-glace que cobria grande parte das partes do norte dos continentes. Por 50 anos após a sua publicação, vários geólogos experientes chamaram a atenção para suas graves deficiências. No entanto, a interpretação de Agassiz está subjacente à versão “canônica” agora ensinada aos estudantes de todos os lugares, sem ressalvas. Atualmente, os pesquisadores que realizam uma revisão crítica das evidências existentes, que chegam a conclusões que diferem substancialmente da interpretação do ‘Gelo Pleistoceno Grosso’ terão dificuldade em passar pelas equipes de revisão e entrar em vários periódicos quaternários. A frustração de Catch-22 desses autores será ampliada quando eles tentarem publicar um resumo de sua revisão como um artigo na Wikipedia, onde poderão achar que editores céticos reverterão sua submissão na lógica de que parece ser ‘Pesquisa Original’.

Lógica
A captura arquetípica 22, conforme formulada por Heller, envolve o caso de John Yossarian, um bombardeiro das Forças Aéreas do Exército dos EUA, que deseja ser impedido de voar em combate. Isso só acontecerá se ele for avaliado pelo cirurgião de vôo do esquadrão e considerado “inadequado para voar”. “Inapto” seria qualquer piloto disposto a realizar missões tão perigosas, como seria necessário estar louco para se voluntariar para uma possível morte. No entanto, para ser avaliado, ele deve solicitar a avaliação, um ato que é considerado prova suficiente para ser declarado são. Essas condições tornam impossível ser declarado “inapto”.

O “Catch-22” é que “quem quer sair do serviço de combate não é realmente louco”. Portanto, os pilotos que solicitam uma avaliação da aptidão mental são saudáveis ​​e, portanto, devem voar em combate. Ao mesmo tempo, se uma avaliação não for solicitada pelo piloto, ele nunca receberá uma e, portanto, nunca poderá ser considerado louco, o que significa que ele também deve voar em combate.

Portanto, o Catch-22 garante que nenhum piloto possa ficar de castigo por ser louco, mesmo que seja.

Uma formulação lógica dessa situação é:

1. (E → (I ∧ R)) Para que uma pessoa seja dispensada de voar (E) por motivos de insanidade, ela deve estar louca (I) e ter solicitado uma avaliação (R). (premissa)
2. (I → ¬R) Uma pessoa insana (I) não solicita uma avaliação (¬R) porque não percebe que é insana. (premissa)
3. (¬IV ¬R) Ou uma pessoa não é louca (¬I) ou não solicita uma avaliação (¬R). (2. e implicação material)
4. (¬ (I ∧ R)) Nenhuma pessoa pode ser ao mesmo tempo insana (I) e solicitar uma avaliação (R). (3. e leis de De Morgan)
5. (¬ E) Portanto, nenhuma pessoa pode ser dispensada de voar (¬E) porque nenhuma pessoa pode ser ao mesmo tempo insana e ter solicitado uma avaliação. (4., 1. e modus tollens)
O filósofo Laurence Goldstein argumenta que o “dilema do aviador” não é logicamente nem mesmo uma condição verdadeira em nenhuma circunstância; é um “bicondicional vazio” que, em última análise, não tem sentido. Goldstein escreve:

O filósofo Laurence Goldstein argumenta que o “dilema do aviador” não é logicamente nem mesmo uma condição verdadeira em nenhuma circunstância; é um “bicondicional vazio” que, em última análise, não tem sentido. Goldstein escreve:

O problema é o seguinte: o que parece ser uma declaração das condições sob as quais um aviador pode ser dispensado em missões perigosas reduz-se não à declaração

(i) ‘Um aviador pode ser dispensado em missões perigosas se e somente se Cont’ (onde ‘Cont’ é uma contradição)
(que poderia ser uma maneira mesquinha de disfarçar uma verdade desagradável), mas com o anúncio inútil e vazio

(ii) ‘Um aviador pode ser dispensado de realizar missões perigosas se, e somente se não for o caso, que um aviador possa ser dispensado de realizar missões perigosas’
Se a captura fosse (i), isso não seria tão ruim – um aviador pelo menos seria capaz de descobrir que, sob nenhuma circunstância, poderia evitar o dever de combate. Mas o Catch-22 é pior – uma confusão de palavras que não chegam a nada; é sem conteúdo, não transmite nenhuma informação.

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Aquiles e o paradoxo da tartaruga

“O que a tartaruga disse a Aquiles”, escrito por Lewis Carroll em 1895 para a revista filosófica Mind, é um breve diálogo alegórico sobre os fundamentos da lógica. O título faz alusão a um dos paradoxos do movimento de Zenão, em que Aquiles nunca poderia ultrapassar a tartaruga em uma corrida. No diálogo de Carroll, a tartaruga desafia Aquiles a usar a força da lógica para fazê-lo aceitar a conclusão de um simples argumento dedutivo. Por fim, Aquiles falha, porque a tartaruga inteligente o leva a uma regressão infinita.

Resumo do diálogo
A discussão começa considerando o seguinte argumento lógico:

A: “Coisas iguais são iguais entre si” (relação euclidiana, uma forma enfraquecida da propriedade transitiva)
B: “Os dois lados deste triângulo são coisas iguais.”
Portanto, Z: “Os dois lados deste triângulo são iguais um ao outro”
A Tartaruga pergunta a Aquiles se a conclusão segue logicamente das premissas, e Aquiles concorda que obviamente. A Tartaruga então pergunta a Aquiles se pode haver um leitor de Euclides que admita que o argumento é logicamente válido, como uma sequência, enquanto nega que A e B são verdadeiros. Aquiles aceita que tal leitor possa existir, e que ele sustentaria que se A e B são verdadeiros, então Z deve ser verdadeiro, embora ainda não aceite que A e B sejam verdadeiros (ou seja, um leitor que nega as premissas).

A Tartaruga então pergunta a Aquiles se existe um segundo tipo de leitor, que aceita que A e B são verdadeiros, mas que ainda não aceita o princípio de que, se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro. Aquiles concede à tartaruga que esse segundo tipo de leitor também possa existir. A tartaruga, então, pede a Aquiles que a trate como um leitor desse segundo tipo. Aquiles agora deve obrigar logicamente a Tartaruga a aceitar que Z deve ser verdadeiro. (A tartaruga é um leitor que nega a forma do argumento; a conclusão, a estrutura ou a validade do silogismo.)

Depois de escrever A, B e Z em seu caderno, Aquiles pede à tartaruga que aceite a hipótese:

C: “Se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro”

A Tartaruga concorda em aceitar C, se Aquiles escrever o que deve aceitar em seu caderno, apresentando o novo argumento:

A: “Coisas iguais são iguais entre si”
B: “Os dois lados deste triângulo são coisas iguais.”
C: “Se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro”
Portanto, Z: “Os dois lados deste triângulo são iguais um ao outro”

Mas agora que a Tartaruga aceita a premissa C, ainda se recusa a aceitar o argumento expandido. Quando Aquiles exige que “se você aceita A e B e C, deve aceitar Z”, a Tartaruga observa que essa é outra proposição hipotética e sugere que, mesmo que aceite C, ainda assim poderá falhar em concluir Z se não encontrar o verdade de:

D: “Se A, B e C forem verdadeiros, Z deve ser verdadeiro”

A Tartaruga continua aceitando cada premissa hipotética quando Aquiles a escreve, mas nega que a conclusão necessariamente se segue, uma vez que nega a hipótese de que, se todas as premissas escritas até agora são verdadeiras, Z deve ser verdade:

“E finalmente chegamos ao final deste hipódromo ideal! Agora que você aceita A e B e C e D, é claro que aceita Z. ”

“Eu?” disse a tartaruga inocentemente. “Vamos deixar isso bem claro. Aceito A e B, C e D. Suponha que ainda me recusei a aceitar Z?

“Então a lógica o levaria pela garganta e forçaria você a fazê-lo!” Aquiles respondeu triunfante. “A lógica dizia: ‘Você não pode se ajudar. Agora que você aceitou A, B, C e D, deve aceitar Z! Então você não tem escolha, entende?

“O que quer que a Logic seja boa o suficiente para me dizer vale a pena ser anotada”, disse a tartaruga. “Então coloque no seu caderno, por favor. Vamos chamá-lo

(E) Se A e B e C e D forem verdadeiros, Z deve ser verdadeiro.
Até conceder isso, é claro que não preciso conceder Z. Portanto, é um passo necessário, entende?

“Entendo”, disse Aquiles; e havia um toque de tristeza em seu tom.

Assim, a lista de premissas continua a crescer sem fim, deixando o argumento sempre na forma:

(1): “Coisas iguais são iguais entre si”
(2): “Os dois lados deste triângulo são coisas iguais à mesma”
(3): (1) e (2) ⇒ (Z)
(4): (1) e (2) e (3) ⇒ (Z)

(n): (1) e (2) e (3) e (4) e… e (n – 1) ⇒ (Z)
Portanto, (Z): “Os dois lados deste triângulo são iguais um ao outro”

A cada passo, a Tartaruga argumenta que, embora ele aceite todas as premissas que foram escritas, há alguma premissa adicional (que, se todas as (1) – (n) forem verdadeiras, (Z) deve ser verdadeira) que ele ainda precisa aceitar antes de ser obrigado a aceitar que (Z) é verdadeiro.

Explicação
Lewis Carroll estava mostrando que existe um problema regressivo que surge das deduções do modus ponens.

P para Q, P / portanto Q

Ou, em palavras: a proposição P (é verdadeira) implica Q (é verdadeira) e, dada a P, portanto, Q.

O problema de regressão surge porque é necessário um princípio anterior para explicar princípios lógicos, aqui modus ponens, e uma vez que esse princípio é explicado, é necessário outro princípio para explicar esse princípio. Assim, se a cadeia causal deve continuar, o argumento cai em regressão infinita. No entanto, se um sistema formal for introduzido, onde o modus ponens é simplesmente uma regra de inferência definida dentro do sistema, ele poderá ser cumprido simplesmente pelo raciocínio dentro do sistema.

Por analogia, o xadrez é jogado de acordo com um conjunto específico de regras e, quando uma pessoa joga xadrez, ela não pode questionar ou implorar para diferir das regras dadas, mas deve respeitá-las porque elas formam a própria estrutura do jogo. Isso não quer dizer que o jogador de xadrez concorde com essas regras (considere, por exemplo, mudanças de regras como en passant). Da mesma forma, um sistema formal de lógica consiste em regras de inferência que devem ser seguidas pelo usuário do sistema e, quando uma pessoa raciocina de acordo com esse sistema formal, ela não pode questionar ou diferir dessas regras de inferência, mas deve segui-las porque eles formam os próprios constituintes do sistema. Isso não quer dizer que o raciocínio do usuário de acordo com este sistema formal esteja de acordo com essas regras (considere, por exemplo, a rejeição do construtivista à Lei do Meio Excluído e a rejeição do dialetista à Lei da não-contradição). Dessa forma, formalizar a lógica como um sistema pode ser considerada uma resposta ao problema da regressão infinita: o modus ponens é colocado como uma regra no sistema, a validade do modus ponens é evitada sem o sistema.

Na lógica proposicional, a implicação lógica é definida da seguinte maneira:

P implica Q se e somente se a proposição não P ou Q for uma tautologia.

Portanto, de modo ponente, [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, é uma conclusão lógica válida de acordo com a definição de implicação lógica que acabamos de declarar. Demonstrar a implicação lógica simplesmente se traduz em verificar se a tabela composta de verdade produz uma tautologia. Mas a tartaruga não aceita na fé as regras da lógica proposicional em que esta explicação se baseia. Ele pede que essas regras também estejam sujeitas a provas lógicas. A Tartaruga e Aquiles não concordam com nenhuma definição de implicação lógica.

Além disso, a história sugere problemas com a solução proposicional. Dentro do sistema de lógica proposicional, nenhuma proposição ou variável carrega qualquer conteúdo semântico. No momento em que qualquer proposição ou variável assume conteúdo semântico, o problema surge novamente porque o conteúdo semântico é executado fora do sistema. Assim, se se quiser que a solução funcione, deve-se dizer que funcione apenas dentro do sistema formal fornecido, e não de outra forma.

Alguns lógicos (Kenneth Ross, Charles Wright) fazem uma firme distinção entre o conectivo condicional e a relação de implicação. Esses lógicos usam a frase não p ou q para o conectivo condicional e o termo implica em uma relação de implicação afirmada.

Discussão
Vários filósofos tentaram resolver o paradoxo de Carroll. Bertrand Russell discutiu brevemente o paradoxo no § 38 de The Principles of Mathematics (1903), distinguindo entre implicação (associada à forma “se p, então q”), que ele considerava uma relação entre proposições não declaradas e inferência (associada com a forma “p, portanto, q”), que ele considerava uma relação entre proposições afirmadas; tendo feito essa distinção, Russell poderia negar que a tentativa da Tartaruga de tratar inferir Z de A e B como equivalente ou dependente de concordar com a hipotética “Se A e B são verdadeiros, então Z é verdadeiro”.

O filósofo wittgensteiniano Peter Winch discutiu o paradoxo em A idéia de uma ciência social e sua relação com a filosofia (1958), onde argumentou que o paradoxo mostrava que “o processo real de desenhar uma inferência, que afinal está no centro da lógica , é algo que não pode ser representado como uma fórmula lógica … Aprender a inferir não é apenas uma questão de ser ensinado sobre relações lógicas explícitas entre proposições; é aprender a fazer alguma coisa ”. Winch continua sugerindo que a moral do diálogo é um caso particular de uma lição geral, no sentido de que a aplicação adequada de regras que governam uma forma de atividade humana não pode, por si só, ser resumida com um conjunto de regras adicionais e, portanto, que “Uma forma de atividade humana nunca pode ser resumida em um conjunto de preceitos explícitos”.

O diálogo de Carroll é aparentemente a primeira descrição de um obstáculo ao convencionalismo sobre a verdade lógica, posteriormente retrabalhada em termos filosóficos mais sóbrios por WVO Quine.

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Paradoxos

Paradoxo da barbearia

O paradoxo da barbearia foi proposto por Lewis Carroll em um ensaio de três páginas intitulado “Um Paradoxo Lógico”, publicado na edição de julho de 1894 da Mind. O nome vem do conto “ornamental” que Carroll usa no artigo para ilustrar o paradoxo. Existia anteriormente em várias formas alternativas em sua escrita e correspondência, nem sempre envolvendo uma barbearia. Carroll descreveu isso como ilustrando “uma dificuldade muito real na teoria da hipotética”. Do ponto de vista da lógica moderna, ela é vista não apenas como um paradoxo, mas como um simples erro lógico. É de interesse agora principalmente como um episódio no desenvolvimento de métodos lógicos algébricos, quando estes não eram tão amplamente compreendidos (mesmo entre lógicos), embora o problema continue sendo discutido em relação às teorias de implicação e lógica modal.

O paradoxo
Na história, tio Joe e tio Jim estão caminhando para a barbearia. Eles explicam que existem três barbeiros que moram e trabalham na loja – Allen, Brown e Carr – e alguns ou todos podem estar lá. Recebemos duas informações para tirar conclusões. Primeiro, a loja está definitivamente aberta, então pelo menos um dos barbeiros deve entrar. Segundo, diz-se que Allen está muito nervoso, para que ele nunca saia da loja, a menos que Brown vá com ele.

Agora, de acordo com o tio Jim, Carr é um barbeiro muito bom, e ele quer saber se Carr estará lá para fazer a barba. O tio Joe insiste que Carr certamente estará presente e afirma que ele pode provar isso logicamente. Tio Jim exige essa prova.

O tio Joe apresenta seu argumento da seguinte maneira:

Suponha que Carr esteja fora. Mostraremos que essa suposição produz uma contradição. Se Carr está fora, então sabemos disso: “Se Allen está fora, então Brown está dentro”, porque deve haver alguém para “cuidar da loja”. Mas também sabemos que, sempre que Allen sai, ele leva Brown com ele, como regra geral: “Se Allen está fora, Brown está fora”. As duas afirmações a que chegamos são incompatíveis, porque se Allen está fora, Brown não pode estar tanto em (de acordo com uma) como em de fora (de acordo com a outra). Existe uma contradição. Portanto, devemos abandonar nossa hipótese de que Carr está fora e concluir que Carr deve estar dentro.

A resposta do tio Jim é que essa conclusão não se justifica. A conclusão correta a ser tirada da incompatibilidade dos dois “hipotéticos” é que o que é hipotetizado neles (que Allen está fora) deve ser falso sob nossa suposição de que Carr está fora. Então nossa lógica simplesmente nos permite chegar à conclusão “Se Carr está fora, Allen deve estar necessariamente dentro”.

A disputa histórica
O paradoxo surgiu de uma discordância entre Carroll e seu colega de Oxford, professor de lógica Wykeham, John Cook Wilson, cujos dois tinham um antagonismo de longa data. O problema também foi discutido por outros com quem Carroll se correspondia e foi abordado em artigos posteriores publicados por John Venn, Alfred Sidgwick e Bertrand Russell, entre outros. A visão de Cook Wilson é representada na história pelo personagem do tio Joe, que tenta provar que Carr sempre deve permanecer na loja. Outros adotaram a mesma opinião quando Carroll divulgou suas versões impressas do problema em particular. Como Carroll observou: “Estou em correspondência com cerca de uma dúzia de lógicos sobre esse ponto curioso; e até agora, as opiniões parecem igualmente divididas quanto à liberdade de C. ”: 445-448

Simplificação

Notação
Ao ler o original, pode ser útil lembrar o seguinte:

O que Carroll chamou de “hipotéticos” lógicos modernos chamam de “condicionais lógicos”.
Tio Joe conclui sua prova reductio ad absurdum, que significa em inglês “prova por contradição”.
O que Carroll chama de protasis de uma condicional é agora conhecido como antecedente e, da mesma forma, a apodose é agora chamada de conseqüente.
Os símbolos podem ser usados ​​para simplificar bastante declarações lógicas, como as inerentes a esta história:

Nome do operador) Coloquial Simbólico
Negação NÃO não X ¬ ¬X
Conjunção E X e Y X ∧ Y
Disjunção OU X ou Y X ∨ Y
Condicional SE ENTÃO se X então Y X ⇒ Y

Nota: X ⇒ Y (também conhecido como “Implicação”) pode ser lido de várias maneiras em inglês, de “X é suficiente para Y” a “Y segue de X”. (Veja também Tabela de símbolos matemáticos.)

Correção
Para ajudar a reafirmar a história de Carroll de maneira mais simples, tomaremos as seguintes declarações atômicas:

A = Allen está na loja
B = Marrom está em
C = Carr está em
Então, por exemplo (¬A ∧ B) representa “Allen está fora e Brown está dentro”

Tio Jim nos dá nossos dois axiomas:

Há pelo menos um barbeiro na loja agora (A ∨ B ∨ C)
Allen nunca sai da loja sem Brown (¬A ⇒ ¬B)
Tio Joe apresenta uma prova:

Inglês abreviado com marcadores lógicos Principalmente simbólico
Suponha que Carr NÃO esteja presente. H0: ¬C
Dado NÃO C, SE Allen NÃO estiver ENTÃO, Brown deve estar dentro, para satisfazer o Axioma 1 (A1). Por H0 e A1, ¬A ⇒ B
Mas o Axiom 2 (A2) afirma que é universalmente verdade que IF Allen
não está em ENTÃO Brown não está em (é sempre verdade que se ¬A então ¬B)
Por A2, ¬A ⇒ ¬B
Até agora, temos que NOT C produz ambos (não A THEN B) e (not A THEN B). Assim ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))
O tio Joe alega que isso é contraditório.
Portanto, Carr deve estar dentro ∴C

O tio Joe basicamente argumenta que (¬A ⇒ B) e (¬A ⇒ ¬B) são contraditórios, dizendo que o mesmo antecedente não pode resultar em dois consequentes diferentes.

Essa suposta contradição é o cerne da “prova” de Joe. Carroll apresenta esse resultado que desafia a intuição como um paradoxo, esperando que a ambiguidade contemporânea seja resolvida.

Discussão
Na teoria lógica moderna, esse cenário não é um paradoxo. A lei da implicação reconcilia o que o tio Joe afirma ser hipotético incompatível. Esta lei afirma que “se X então Y” é logicamente idêntico a “X é falso ou Y é verdadeiro” (¬X ∨ Y). Por exemplo, dada a afirmação “se você pressionar o botão, a luz acenderá”, deve ser verdade a qualquer momento que você não pressionou o botão ou a luz está acesa.

Em resumo, o que obtém não é que ¬C produz uma contradição, apenas que ele precisa de A, porque isA é o que realmente produz a contradição.

Nesse cenário, isso significa que Carr não precisa entrar, mas que, se não estiver, Allen precisará entrar.

Simplificando para Axiom 1
A aplicação da lei da implicação às condicionais ofensivas mostra que, em vez de se contradizerem, simplesmente reitera o fato de que, como a loja está aberta, um ou mais de Allen, Brown ou Carr estão e o outro coloca muito pouca restrição sobre quem pode ou não estar na loja.

Para ver isso, atacemos o grande resultado “contraditório” de Jim, principalmente aplicando a lei da implicação repetidamente. Primeiro, vamos dividir um dos dois condicionais infratores:

“Se Allen está fora, então Brown está fora”
“Allen está dentro ou Brown está fora”
(¬A ⇒ ¬B)
(A ¬ ¬B)

Substituindo isso em

“Se Carr está fora, ENTÃO, se Allen também estiver fora, então Brown estará dentro E se Allen estiver fora, então Brown estará fora.”
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))

O que produz, com a aplicação contínua da lei de implicação,

“Se Carr está fora, ENTÃO, se Allen também estiver fora, Brown está dentro E Allen está dentro OU Brown está fora.”
“Se Carr saiu, ENTÃO as duas coisas são verdadeiras: Allen está dentro OU Brown está dentro E Allen está dentro OU Brown está fora.”
“Carr está em OR ou ambos são verdadeiros: Allen está em OU Brown está em E Allen está em OU Brown está fora.”
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (A ∨ ¬B))
¬C ⇒ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B))
C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B))
observe que: C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) pode ser simplificado para C ∨ A
uma vez que ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) é simplesmente A

E finalmente, (à direita, estamos distribuindo entre parênteses)

“Carr está em OU Allen está em OR Brown está em, e Carr está em OU Allen está em OU Brown está fora.”
“Inclusive, Carr está em OU Allen está em OU Brown está em E Inclusive, Carr está em OU Allen está em OU Brown está fora.”
C ∨ (A ∨ B) ∧ C ∨ (A ∨ ¬B)
(C ∨ A ∨ B) ∧ (C ∨ A ∨ ¬B)

Portanto, as duas afirmações que se tornam verdadeiras ao mesmo tempo são: “Um ou mais de Allen, Brown ou Carr estão dentro”, que é simplesmente o Axioma 1, e “Carr está dentro ou Allen está dentro ou Brown está fora”. Claramente, uma das maneiras pelas quais essas duas afirmações podem se tornar verdadeiras ao mesmo tempo é no caso em que Allen está (porque a casa de Allen é a barbearia e em algum momento Brown deixou a loja).

Outra maneira de descrever como (X Y Y) ⇔ (¬X ∨ Y) resolve isso em um conjunto válido de instruções é reformular a declaração de Jim de que “Se Allen também está fora…” em “Se Carr está fora e Allen está fora, então Brown está em ”((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).

Mostrando condicionais compatíveis
Os dois condicionais não são opostos lógicos: para provar por contradição, Jim precisava mostrar ¬C ⇒ (Z ¬ Z), onde Z passa a ser uma condicional.

O oposto de (A ⇒ B) é ¬ (A ⇒ B), que, usando a Lei de De Morgan, resolve para (A ¬ ¬ B), que não é a mesma coisa que (¬A ∨ ¬B), que é o que A ⇒ B reduz para.

Essa confusão sobre a “compatibilidade” desses dois condicionais foi prevista por Carroll, que inclui uma menção a isso no final da história. Ele tenta esclarecer a questão argumentando que a protase e a apodose da implicação “Se Carr está em …” estão “incorretamente divididas”. No entanto, a aplicação da Lei da Implicação remove completamente o “Se …” (reduzindo as disjunções); portanto, não existem protases e apodoses e não é necessário um contra-argumento.