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Paradoxo de Pinóquio

O paradoxo de Pinóquio surge quando Pinóquio diz “Meu nariz cresce agora” e é uma versão do paradoxo do mentiroso. O paradoxo do mentiroso é definido na filosofia e na lógica como a afirmação “Esta frase é falsa”. Qualquer tentativa de atribuir um valor de verdade binário clássico a essa afirmação leva a uma contradição ou paradoxo. Isso ocorre porque se a afirmação “Esta sentença é falsa” for verdadeira, será falsa; isso significaria que é tecnicamente verdade, mas também que é falso, e assim por diante sem fim. Embora o paradoxo de Pinóquio pertença à tradição do paradoxo do mentiroso, é um caso especial porque não possui predicados semânticos, como por exemplo “Minha sentença é falsa”.

O paradoxo de Pinóquio não tem nada a ver com Pinóquio ser um mentiroso conhecido. Se Pinóquio dissesse “Estou ficando doente”, isso poderia ser verdadeiro ou falso, mas a frase de Pinóquio “Meu nariz cresce agora” não pode ser verdadeira nem falsa; portanto, esta e somente essa sentença cria o paradoxo de Pinóquio (mentiroso).

História
Pinóquio é um herói do romance infantil de 1883, As aventuras de Pinóquio, do autor italiano Carlo Collodi. Pinóquio, um boneco animado, é punido por cada mentira que ele conta, passando por um crescimento maior do nariz. Não há restrições quanto ao comprimento do nariz de Pinóquio. Cresce quando ele conta mentiras e, a certa altura, cresce tanto que ele nem consegue passar o nariz “pela porta da sala”.

O paradoxo de Pinóquio foi proposto em fevereiro de 2001 por Veronique Eldridge-Smith, de 11 anos. Veronique é filha de Peter Eldridge-Smith, especialista em lógica e filosofia da lógica. Peter Eldridge-Smith explicou o paradoxo do mentiroso a Veronique e ao irmão mais velho de Veronique e pediu às crianças que apresentassem suas próprias versões do famoso paradoxo. Em alguns minutos, Veronique sugeriu: “Pinóquio diz: ‘Meu nariz estará crescendo'”. Eldridge-Smith gostou da formulação do paradoxo sugerido por sua filha e escreveu um artigo sobre o assunto. O artigo foi publicado na revista Analysis, e o paradoxo de Pinóquio se popularizou na Internet.

O paradoxo
O paradoxo sugerido por Veronique: “Meu nariz cresce agora”, ou no futuro: “estará crescendo”, deixa espaço para diferentes interpretações. No romance, o nariz de Pinóquio continua a crescer quando ele mente: “Enquanto ele falava, seu nariz, por mais longo que fosse, tornou-se pelo menos dois centímetros mais longo”. Então os lógicos questionam se a frase “Meu nariz vai crescer” foi a única frase que Pinóquio falou, ele mentiu antes de dizer “Meu nariz vai crescer” ou ele iria mentir – e quanto tempo duraria? é preciso que o nariz dele comece a crescer?

O tempo presente da mesma frase “Meu nariz está crescendo agora” ou “Meu nariz cresce” parece oferecer uma oportunidade melhor para gerar o paradoxo do mentiroso.

A frase “Meu nariz cresce” pode ser verdadeira ou falsa.

Suponha que a frase: “Meu nariz cresce agora” seja verdadeira:

O que significa que o nariz de Pinóquio cresce agora porque ele realmente diz que sim, mas então
O nariz de Pinóquio não cresce agora porque, de acordo com o romance, cresce apenas quando Pinóquio está, mas depois
O nariz de Pinóquio cresce agora porque o nariz de Pinóquio não cresce agora, e Pinóquio diz com confiança que cresce agora e é falso, o que faz com que a sentença de Pinóquio seja falsa, mas depois
O nariz de Pinóquio não cresce agora porque o nariz de Pinóquio cresce agora, e Pinóquio confiantemente diz que cresce agora, e é verdade que faz com que a sentença de Pinóquio seja verdadeira, mas então
E assim por diante sem fim.

Suponha que a frase: “Meu nariz cresce agora” seja falsa:

O que significa que o nariz de Pinóquio não cresce agora porque ele falsamente diz que é, mas então
O nariz de Pinóquio cresce agora porque, de acordo com o romance, cresce apenas quando Pinóquio está, mas depois
O nariz de Pinóquio não cresce agora porque o nariz de Pinóquio cresce agora, e Pinóquio diz falsamente que cresce agora, e é falso que faz com que a sentença de Pinóquio seja verdadeira, mas então
O nariz de Pinóquio cresce agora porque o nariz de Pinóquio não cresce agora, e Pinóquio diz falsamente que cresce agora, e é verdade, que faz com que a sentença de Pinóquio seja falsa, mas depois
E assim por diante sem fim.

E apenas para facilitar, como afirma Eldridge-Smith, “o nariz de Pinóquio está crescendo se e somente se não estiver crescendo”, o que faz com que a sentença de Pinóquio seja “uma versão do mentiroso”.

Eldridge-Smith argumenta que, como as frases “não é verdadeira” e “está crescendo” não são sinônimos, o paradoxo de Pinóquio não é um paradoxo semântico:

O paradoxo de Pinóquio é, de certa forma, um contra-exemplo de soluções para o mentiroso que excluiriam predicados semânticos de uma linguagem-objeto, porque “está crescendo” não é um predicado semântico.

Eldridge-Smith acredita na teoria de Alfred Tarski, na qual afirma que os paradoxos dos mentirosos devem ser diagnosticados como surgindo apenas em idiomas “semanticamente fechados”. Com isso, ele quer dizer que um idioma em que é possível que uma frase predique a verdade (ou falsidade) de uma frase no mesmo idioma não deve ser aplicado ao paradoxo de Pinóquio:

O paradoxo de Pinóquio levanta uma questão puramente lógica para qualquer solução de metalinguagem-hierarquia, estrita ou liberal. O cenário de Pinóquio não vai surgir em nosso mundo, portanto, não é uma questão pragmática. Parece, porém, que poderia haver um mundo logicamente possível em que o nariz de Pinóquio cresça se, e somente se, ele estiver dizendo algo não verdadeiro. No entanto, não pode haver um mundo logicamente possível em que ele faça a afirmação “Meu nariz está crescendo”. Uma abordagem de hierarquia de metalinguagem não pode explicar isso com base na análise de Tarski e, portanto, não pode resolver o paradoxo de Pinóquio, que é uma versão do mentiroso.

Em seu próximo artigo, “Pinóquio contra os dialetistas”, Eldridge-Smith afirma: “Se é uma verdadeira contradição que o nariz de Pinóquio cresça e não cresça, então esse mundo é metafisicamente impossível, não apenas semanticamente impossível”. Ele então lembra aos leitores que, quando (na ponte de Buridan) Sócrates perguntou se ele poderia atravessar uma ponte, Platão respondeu que só poderia atravessar a ponte “se na primeira proposição que você dissesse você falasse a verdade. Mas certamente, se você fala falsamente, eu o jogarei na água. ” Sócrates respondeu: “Você vai me jogar na água”. A resposta de Sócrates é um sofisma que coloca Platão em uma situação difícil. Ele não podia jogar Sócrates na água, porque, ao fazer isso, Platão teria violado sua promessa de deixar Sócrates atravessar a ponte se ele dissesse a verdade. Por outro lado, se Platão tivesse permitido que Sócrates cruzasse a ponte, isso significaria que Sócrates disse uma mentira quando respondeu: “Você vai me jogar na água” e, portanto, deveria ter sido jogado na água. . Em outras palavras, Sócrates poderia cruzar a ponte se e somente se ele não pudesse.

Soluções

Futuro
William F. Vallicella, embora admita que não leu os artigos publicados no Analysis, diz que não vê um paradoxo no tempo futuro da frase “Meu nariz crescerá agora”, ou no tempo presente da frase ” Meu nariz cresce agora “.

Vallicella argumenta que a sentença no futuro não pode gerar o paradoxo do mentiroso, porque nunca pode ser tratada como uma falsidade. Ele explica seu argumento com este exemplo: “Suponha que eu preveja que amanhã às seis da manhã minha pressão arterial será 125/75, mas minha previsão será falsa: minha pressão arterial na manhã seguinte é 135/85. Ninguém que ouvi que minha previsão poderia afirmar que menti quando o fiz, mesmo que tivesse a intenção de enganar meus ouvintes, pois, embora eu tenha feito (o que acabou por ser) uma afirmação falsa com a intenção de enganar, eu não tinha como saber exatamente qual seria minha pressão arterial no dia seguinte “. A mesma explicação poderia ser usada para explicar a sentença de Pinóquio. Mesmo que a previsão de que o nariz dele cresça seja falsa, é impossível afirmar que ele mentiu.

Se Pinóquio disser ‘Meu nariz cresce agora’, ele está mentindo ou não. Se ele está mentindo, está fazendo uma declaração falsa, o que implica que seu nariz não cresce agora. Se ele não está mentindo, sua afirmação é verdadeira ou falsa, o que implica que o nariz dele cresce agora ou o nariz dele não cresce agora. Portanto, seu nariz não cresce agora ou seu nariz agora. Mas isso é totalmente sem problemas.

No entanto, o argumento de Vallicella pode ser criticado da seguinte maneira: Ao contrário de Pinóquio, a pressão sanguínea de Vallicella não responde à veracidade de suas próprias declarações. No entanto, Pinóquio, operando dentro da estrutura de ter observado que seu nariz cresce quando e somente quando ele mente, estaria fazendo uma declaração indutivamente fundamentada, que ele acredita ser verdadeira com base em suas experiências passadas.

Mas essa crítica ao argumento de Vallicella também pode ser contestada. Com base no entendimento presumido de Pinóquio da natureza de quando e por que o nariz dele cresce, “meu nariz cresce agora” só pode ter sido “indutivamente raciocinado” se Pinóquio estiver se referindo a uma mentira que ele declarou de antemão. Para Pinóquio, “meu nariz cresce agora” é uma afirmação que serve apenas para sugerir que tudo o que ele disse antes era mentira e que, portanto, seu nariz provavelmente estará crescendo agora por causa dessa mentira. Nesse contexto, a afirmação “meu nariz cresce agora” é uma previsão ou um palpite ‘educado’, que por sua natureza não pode ser interpretado como uma mentira. Assim, se o nariz dele cresce ou não agora, dependeria apenas do que ele disse antes “meu nariz cresce agora”.

Aplicando o bom senso
Como em muitos paradoxos, a aplicação da lógica do mundo real, o significado comum de palavras ou frases ou o conhecimento das circunstâncias que envolvem um paradoxo fornecem uma solução que evita o problema. Para esse paradoxo, pode-se simplesmente argumentar que o nariz de Pinóquio só cresce quando ele é intencionalmente desonesto, pois o objetivo de suas propriedades é uma lição de caráter adequado. Por exemplo, as propriedades do nariz de Pinóquio não podem ser usadas para determinar a validade das teorias científicas ou para prever o futuro, fazendo com que ele faça uma afirmação como “Um meteorito cairá na Terra em 2022”. Como não há solução para esse paradoxo, ele não pode mentir intencionalmente sobre o resultado. O nariz de Pinóquio não cresce.

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Paradoxo do mentiroso

Na filosofia e na lógica, o paradoxo clássico do mentiroso ou o paradoxo do mentiroso ou a antinomia do mentiroso é a afirmação de um mentiroso de que ele ou ela está mentindo: por exemplo, declarar que “eu estou mentindo”. Se o mentiroso está realmente mentindo, o mentiroso está dizendo a verdade, o que significa que o mentiroso acabou de mentir. Em “esta frase é uma mentira”, o paradoxo é reforçado para torná-lo passível de análises lógicas mais rigorosas. Ainda é geralmente chamado de “paradoxo do mentiroso”, embora a abstração seja feita precisamente pelo mentiroso que faz a afirmação. Tentando atribuir a essa afirmação, o mentiroso fortalecido, um valor de verdade binário clássico leva a uma contradição.

Geralmente, o termo “paradoxo do mentiroso” é mais usado, embora a abstração seja feita precisamente pelo próprio mentiroso. Ao tentar atribuir um valor de verdade binário à afirmação do mentiroso fortalecido, é alcançada uma contradição.

Se “esta sentença é falsa” é verdadeira, então é falsa, mas a sentença declara que é falsa e, se for falsa, deve ser verdadeira e assim por diante.

Para impedir que uma afirmação se refira ao seu próprio valor lógico, também é possível construir o paradoxo da seguinte maneira, chamado paradoxo da mentira reforçada: A afirmação a seguir é verdadeira. A afirmação anterior é falsa.

História
O paradoxo de Epimenides (por volta de 600 aC) foi sugerido como um exemplo do paradoxo dos mentirosos, mas eles não são logicamente equivalentes. O vidente semi-mítico Epimenides, um cretense, afirmou que “todos os cretenses são mentirosos”. No entanto, a afirmação de Epimenides de que todos os cretenses são mentirosos pode ser resolvida como falsa, já que ele conhece pelo menos um outro cretense que não mente. É precisamente para evitar incertezas decorrentes do fator humano e de conceitos nebulosos que os lógicos modernos propuseram um mentiroso “fortalecido”, como a frase “esta frase é falsa”.

O nome do paradoxo é traduzido como pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) no grego antigo. Uma versão do paradoxo do mentiroso é atribuída ao filósofo grego Eubulides de Mileto, que viveu no século IV aC. Eubulides teria perguntado: “Um homem diz que está mentindo. O que ele diz é verdadeiro ou falso?”

O paradoxo foi discutido por São Jerônimo em um sermão:

“Eu disse, alarmada, que todo homem é um mentiroso!” Davi está dizendo a verdade ou está mentindo? Se é verdade que todo homem é mentiroso, e a afirmação de Davi: “Todo homem é mentiroso” é verdadeira, então Davi também está mentindo; ele também é um homem. Mas se ele também está mentindo, sua afirmação de que “todo homem é um mentiroso”, consequentemente não é verdadeira. Seja como for que você vire a proposição, a conclusão é uma contradição. Já que o próprio David é homem, segue-se que ele também está mentindo; mas se ele está mentindo porque todo homem é mentiroso, sua mentira é de um tipo diferente.

O filósofo-gramático indiano Bhartrhari (final do século V dC) estava bem ciente de um paradoxo mentiroso que ele formulou como “tudo o que estou dizendo é falso” (sarvam mithyā bravīmi). Ele analisa essa afirmação juntamente com o paradoxo da “insignificabilidade” e explora a fronteira entre afirmações que não são problemáticas na vida cotidiana e paradoxos.

Houve discussões sobre o paradoxo dos mentirosos no início da tradição islâmica por pelo menos cinco séculos, a partir do final do século 9, e aparentemente sem serem influenciados por nenhuma outra tradição. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī poderia ter sido o primeiro lógico a identificar o paradoxo do mentiroso como auto-referencial.

Explicação e variantes
O problema do paradoxo do mentiroso é que parece mostrar que crenças comuns sobre verdade e falsidade realmente levam a uma contradição. É possível construir frases que não possam receber um valor de verdade consistentemente, mesmo que estejam completamente de acordo com as regras gramaticais e semânticas.

A versão mais simples do paradoxo é a frase:

A: Esta afirmação (A) é falsa.

Se (A) for verdadeiro, “Esta declaração é falsa” é verdadeira. Portanto, (A) deve ser falso. A hipótese de que (A) é verdadeira leva à conclusão de que (A) é falsa, uma contradição.

Se (A) for falso, “Esta declaração é falsa” é falsa. Portanto, (A) deve ser verdadeiro. A hipótese de que (A) é falsa leva à conclusão de que (A) é verdadeira, outra contradição. De qualquer forma, (A) é verdadeiro e falso, o que é um paradoxo.

No entanto, o fato de que a sentença do mentiroso pode ser verdadeira se for falsa e falsa se for verdadeira levou alguns a concluir que não é “nem verdadeira nem falsa”. Essa resposta ao paradoxo é, com efeito, a rejeição da afirmação de que toda afirmação deve ser verdadeira ou falsa, também conhecido como princípio da bivalência, um conceito relacionado à lei do meio excluído.

A proposta de que a afirmação não é verdadeira nem falsa deu origem à seguinte versão fortalecida do paradoxo:

Esta afirmação não é verdadeira. (B)

Se (B) não é verdadeiro nem falso, então não deve ser verdadeiro. Uma vez que é isso que (B) afirma, significa que (B) deve ser verdadeiro. Como inicialmente (B) não era verdade e agora é verdade, surge outro paradoxo.

Outra reação ao paradoxo de (A) é postular, como Graham Priest, que a afirmação é verdadeira e falsa. No entanto, mesmo a análise de Priest é suscetível à seguinte versão do mentiroso:

Esta afirmação é apenas falsa. (C)

Se (C) é verdadeiro e falso, (C) é apenas falso. Mas então, isso não é verdade. Como inicialmente (C) era verdade e agora não é verdade, é um paradoxo. No entanto, argumentou-se que, ao adotar uma semântica relacional de dois valores (em oposição à semântica funcional), a abordagem dialetêmica pode superar essa versão do mentiroso.

Existem também versões com várias frases do paradoxo do mentiroso. A seguir, a versão com duas frases:

A afirmação a seguir é verdadeira. (D1)
A declaração anterior é falsa. (D2)

Suponha que (D1) seja verdadeiro. Então (D2) é verdadeiro. Isso significaria que (D1) é falso. Portanto, (D1) é verdadeiro e falso.

Suponha que (D1) seja falso. Então (D2) é falso. Isso significaria que (D1) é verdade. Assim (D1) é verdadeiro e falso. De qualquer forma, (D1) é verdadeiro e falso – o mesmo paradoxo que (A) acima.

A versão multi-sentenças do paradoxo do mentiroso generaliza a qualquer sequência circular de tais afirmações (em que a última afirmação afirma a verdade / falsidade da primeira afirmação), desde que haja um número ímpar de afirmações afirmando a falsidade de seu sucessor; a seguir, uma versão de três frases, com cada afirmação afirmando a falsidade de seu sucessor:

E2 é falso. (E1)
E3 é falso. (E2)
E1 é falso. (E3)

Suponha que (E1) seja verdadeiro. Então (E2) é falso, o que significa (E3) é verdadeiro e, portanto, (E1) é falso, levando a uma contradição.

Suponha que (E1) seja falso. Então (E2) é verdadeiro, o que significa (E3) é falso e, portanto, (E1) é verdadeiro. De qualquer maneira, (E1) é ao mesmo tempo verdadeiro e falso – o mesmo paradoxo que em (A) e (D1).

Existem muitas outras variantes e muitos complementos possíveis. Na construção de sentença normal, a versão mais simples do complemento é a sentença:

Esta afirmação é verdadeira. (F)
Se for assumido que F possui um valor de verdade, ele apresenta o problema de determinar o objeto desse valor. Porém, é possível uma versão mais simples, assumindo que a única palavra ‘true’ tenha um valor de verdade. O análogo ao paradoxo é assumir que a palavra única ‘falso’ também tem um valor de verdade, a saber, que é falso. Isso revela que o paradoxo pode ser reduzido ao ato mental de assumir que a própria idéia de falácia tem um valor de verdade, a saber, que a própria idéia de falácia é falsa: um ato de deturpação. Portanto, a versão simétrica do paradoxo seria:

A seguinte declaração é falsa. (G1)
A declaração anterior é falsa. (G2)

Resoluções possíveis

Alfred Tarski
Alfred Tarski diagnosticou o paradoxo como surgindo apenas em idiomas “semanticamente fechados”, com o qual ele quis dizer um idioma no qual é possível que uma frase predique a verdade (ou falsidade) de outra frase no mesmo idioma (ou mesmo em si mesma) ) Para evitar a autocontradição, é necessário, ao discutir os valores da verdade, prever níveis de idiomas, cada um dos quais pode predicar a verdade (ou falsidade) apenas dos idiomas em um nível inferior. Portanto, quando uma frase se refere ao valor de verdade de outra, é semanticamente maior. A sentença mencionada faz parte da “linguagem do objeto”, enquanto a sentença referente é considerada parte da “meta-linguagem” em relação à linguagem do objeto. É legítimo para frases em “idiomas” mais alto na hierarquia semântica para se referir a sentenças mais baixas na hierarquia “idioma”, mas não o contrário. Isso impede que um sistema se torne auto-referencial.

No entanto, este sistema está incompleto. Alguém gostaria de poder fazer declarações como “Para cada declaração no nível α da hierarquia, há uma declaração no nível α + 1 que afirma que a primeira declaração é falsa”. Essa é uma afirmação verdadeira e significativa sobre a hierarquia que Tarski define, mas refere-se a declarações em todos os níveis da hierarquia, portanto, deve estar acima de todos os níveis da hierarquia e, portanto, não é possível dentro da hierarquia (embora versões limitadas de a sentença é possível).

Arthur Prior
Arthur Prior afirma que não há nada paradoxal no paradoxo do mentiroso. Sua afirmação (que ele atribui a Charles Sanders Peirce e John Buridan) é que toda afirmação inclui uma afirmação implícita de sua própria verdade. Assim, por exemplo, a afirmação “É verdade que dois mais dois é igual a quatro” não contém mais informações do que a afirmação “dois mais dois é igual a quatro”, porque a frase “é verdade que …” está sempre implicitamente presente. E no espírito autorreferencial do Paradoxo do Mentiroso, a frase “é verdade que …” é equivalente a “toda essa afirmação é verdadeira e …”.

Portanto, as duas instruções a seguir são equivalentes:

Esta afirmação é falsa.
Esta afirmação é verdadeira e é falsa.
O último é uma simples contradição da forma “A e não A” e, portanto, é falsa. Portanto, não há paradoxo porque a afirmação de que esse mentiroso de dois conjuntos é falsa não leva a uma contradição. Eugene Mills apresenta uma resposta semelhante.

Saul Kripke
Saul Kripke argumentou que se uma sentença é paradoxal ou não pode depender de fatos contingentes.: 6 Se a única coisa que Smith diz sobre Jones é:

A maioria do que Jones diz sobre mim é falsa.
e Jones diz apenas estas três coisas sobre Smith:

Smith é um grande gastador.
Smith é gentil com o crime.
Tudo o que Smith diz sobre mim é verdade.
Se Smith realmente é um grande gastador, mas não é mole com o crime, tanto a observação de Smith sobre Jones quanto a última observação de Jones sobre Smith são paradoxais.

Kripke propõe uma solução da seguinte maneira. Se o valor de verdade de uma afirmação está finalmente associado a algum fato avaliável sobre o mundo, essa afirmação é “fundamentada”. Caso contrário, essa afirmação é “não fundamentada”. Declarações não aterradas não têm um valor de verdade. As declarações do mentiroso e do tipo mentiroso não são fundamentadas e, portanto, não têm valor de verdade.

Jon Barwise e John Etchemendy
Jon Barwise e John Etchemendy propõem que a sentença do mentiroso (que eles interpretam como sinônimo do mentiroso fortalecido) é ambígua. Eles baseiam essa conclusão em uma distinção que fazem entre “negação” e “negação”. Se o mentiroso quer dizer: “Não é verdade que essa afirmação é verdadeira”, está negando a si mesma. Se significa “Esta afirmação não é verdadeira”, está negando a si mesma. Eles argumentam, com base na semântica da situação, que o “mentiroso da negação” pode ser verdadeiro sem contradição, enquanto o “mentiroso da negação” pode ser falso sem contradição. O livro de 1987 faz uso pesado da teoria dos conjuntos não bem fundamentada.

Dialetheism
Graham Priest e outros lógicos, incluindo JC Beall e Bradley Armour-Garb, propuseram que a sentença do mentiroso fosse considerada verdadeira e falsa, um ponto de vista conhecido como dialetismo. Dialetheism é a opinião de que existem verdadeiras contradições. O dialetismo levanta seus próprios problemas. A principal delas é que, como o dialetheism reconhece o paradoxo do mentiroso, uma contradição intrínseca, como sendo verdadeira, deve descartar o princípio de explosão há muito reconhecido, que afirma que qualquer proposição pode ser deduzida de uma contradição, a menos que o dialetheist esteja disposto a aceitar trivialismo – a visão de que todas as proposições são verdadeiras. Como o trivialismo é uma visão intuitivamente falsa, os dialetistas quase sempre rejeitam o princípio da explosão. As lógicas que a rejeitam são chamadas paraconsistentes.

Não cognitivismo
Andrew Irvine argumentou a favor de uma solução não cognitivista para o paradoxo, sugerindo que algumas frases aparentemente bem formadas não serão verdadeiras nem falsas e que “apenas os critérios formais inevitavelmente serão insuficientes” para resolver o paradoxo.

Perspectivismo de Bhartrhari
O filósofo-gramático indiano Bhartrhari (final do século V dC) lidou com paradoxos como o mentiroso em uma seção de um dos capítulos de sua magnum opus, o Vākyapadīya. Embora cronologicamente ele preceda todos os tratamentos modernos do problema do paradoxo do mentiroso, só recentemente foi possível para aqueles que não conseguem ler as fontes sânscritas originais confrontar suas opiniões e análises com as dos lógicos e filósofos modernos, porque edições e traduções suficientemente confiáveis de seu trabalho só começou a se tornar disponível a partir da segunda metade do século XX. A solução de Bhartrhari se encaixa em sua abordagem geral da linguagem, pensamento e realidade, que tem sido caracterizada por alguns como “relativista”, “não comprometida” ou “perspectivista”.

No que diz respeito ao paradoxo do mentiroso (sarvam mithyā bhavāmi “tudo o que estou dizendo é falso”), Bhartrhari identifica um parâmetro oculto que pode transformar situações sem problemas na comunicação diária em um paradoxo teimoso. A solução de Bhartrhari pode ser entendida em termos da solução proposta em 1992 por Julian Roberts: “Paradoxos se consomem. Mas podemos separar os lados conflitantes da contradição pelo simples expediente de contextualização temporal: o que é ‘verdadeiro’ em relação a um ponto no tempo não precisa ser assim em outro … A força geral do argumento ‘Austiniano’ não é apenas que ‘as coisas mudam’, mas que a racionalidade é essencialmente temporal, pois precisamos de tempo para reconciliar e gerenciar o que de outra forma ser estados mutuamente destrutivos “.

Segundo a sugestão de Robert, é o fator “tempo” que nos permite reconciliar as “partes do mundo” separadas que desempenham um papel crucial na solução de Barwise e Etchemendy.:188 A capacidade de tempo para impedir um confronto direto de as duas “partes do mundo” são aqui externas ao “mentiroso”. À luz da análise de Bhartrhari, no entanto, a extensão do tempo que separa duas perspectivas do mundo ou duas “partes do mundo” – a parte anterior e a parte posterior à função realizar sua tarefa – é inerente a qualquer “função”: também a função de significar a base de cada afirmação, incluindo o “mentiroso”. O paradoxo insolúvel – uma situação em que temos contradição (virodha) ou regressão infinita (anavasthā) – surge,

Estrutura lógica
Para uma melhor compreensão do paradoxo do mentiroso, é útil anotá-lo de uma maneira mais formal. Se “essa afirmação é falsa” é denotada por A e seu valor de verdade está sendo procurado, é necessário encontrar uma condição que restrinja a escolha dos possíveis valores de verdade de A. Como A é auto-referencial, é possível fornecer a condição por uma equação.

Se alguma afirmação, B, for considerada falsa, alguém escreve “B = false”. A declaração (C) de que a declaração B é falsa seria escrita como “C = ‘B = falsa'”. Agora, o paradoxo do mentiroso pode ser expresso como a afirmação A, de que A é falso:

A = “A = falso”
Esta é uma equação a partir da qual o valor de verdade de A = “esta afirmação é falsa” poderia ser obtido. No domínio booleano “A = false” é equivalente a “não A” e, portanto, a equação não é solucionável. Essa é a motivação para a reinterpretação de A. A abordagem lógica mais simples para tornar a equação solucionável é a abordagem dialeteísta; nesse caso, a solução é A sendo “verdadeira” e “falsa”. Outras resoluções incluem principalmente algumas modificações da equação; Arthur Prior afirma que a equação deve ser “A = ‘A = falso e A = verdadeiro'” e, portanto, A é falso. Na lógica do verbo computacional, o paradoxo do mentiroso é estendido a declarações como “eu ouço o que ele diz; ele diz o que eu não ouço”, onde a lógica do verbo deve ser usada para resolver o paradoxo.

Formulários

O primeiro teorema da incompletude de Gödel
Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas fundamentais da lógica matemática que afirmam limitações inerentes a sistemas axiomáticos suficientemente poderosos para a matemática. Os teoremas foram comprovados por Kurt Gödel em 1931 e são importantes na filosofia da matemática. Grosso modo, ao provar o primeiro teorema da incompletude, Gödel usou uma versão modificada do paradoxo do mentiroso, substituindo “esta sentença é falsa” por “esta sentença não é comprovável”, denominada “sentença Gödel G”. Sua prova mostrou que, para qualquer teoria suficientemente poderosa T, G é verdadeira, mas não provável em T. A análise da verdade e da provabilidade de G é uma versão formalizada da análise da verdade da sentença do mentiroso.

Para provar o primeiro teorema da incompletude, Gödel representou afirmações por números. Então a teoria em questão, que se supõe provar certos fatos sobre números, também prova fatos sobre suas próprias afirmações. As perguntas sobre a possibilidade de afirmações são representadas como perguntas sobre as propriedades dos números, que seriam decidíveis pela teoria se completas. Nesses termos, a sentença Gödel afirma que não existe um número natural com uma certa propriedade estranha. Um número com essa propriedade codificaria uma prova da inconsistência da teoria. Se houvesse esse número, a teoria seria inconsistente, contrária à hipótese da consistência. Portanto, sob a suposição de que a teoria é consistente, não existe esse número.

Não é possível substituir “não comprovável” por “falso” em uma frase de Gödel porque o predicado “Q é o número de Gödel de uma fórmula falsa” não pode ser representado como uma fórmula aritmética. Esse resultado, conhecido como teorema da indefinibilidade de Tarski, foi descoberto independentemente por Gödel (quando ele estava trabalhando na prova do teorema da incompletude) e por Alfred Tarski.

George Boolos, desde então, esboçou uma prova alternativa do primeiro teorema da incompletude que usa o paradoxo de Berry, em vez do paradoxo do mentiroso, para construir uma fórmula verdadeira, mas não comprovável.

Na cultura popular
O paradoxo do mentiroso é usado ocasionalmente na ficção para desligar inteligências artificiais, que são apresentadas como incapazes de processar a frase. Em Star Trek: The Original Series episódio “I, Mudd”, o paradoxo do mentiroso é usado pelo capitão Kirk e Harry Mudd para confundir e finalmente desativar um androide que os mantém em cativeiro. Na série de Doctor Who de 1973, A Morte Verde, o Doutor temporariamente esbarra no BOSS do computador, perguntando: “Se eu lhe dissesse que a próxima coisa que digo seria verdadeira, mas a última coisa que eu disse era mentira, você acredite em mim?” No entanto, o BOSS finalmente decide que a questão é irrelevante e convoca segurança.

No videogame Portal 2 de 2011, o GLaDOS tenta usar o paradoxo “esta frase é falsa” para derrotar a ingênua inteligência artificial Wheatley, mas, sem a inteligência necessária para perceber a afirmação como um paradoxo, ele simplesmente responde: “Hum, é verdade. Eu ‘ vou com a verdade. Lá, isso foi fácil. ” e não é afetado, embora os frankencubes ao seu redor faíscam e fiquem offline.

No sétimo episódio de Minecraft: Story Mode, intitulado “Acesso negado”, o personagem principal Jesse e seus amigos são capturados por um supercomputador chamado PAMA. Depois que o PAMA controla dois amigos de Jesse, Jesse descobre que o PAMA para quando processa e usa um paradoxo para confundi-lo e fugir com seu último amigo. Um dos paradoxos que o jogador pode fazê-lo dizer é o paradoxo do mentiroso.

Em Douglas Adams, O Guia do Mochileiro das Galáxias, capítulo 21, ele descreve um velho solitário que habita um pequeno asteróide nas coordenadas espaciais, onde deveria ter sido um planeta inteiro dedicado às formas de vida Biro (caneta esferográfica). Este velho afirmou repetidamente que nada era verdade, embora mais tarde ele descobrisse estar mentindo.

A música de 1994 da Rollins Band, “Liar”, aludiu ao paradoxo quando o narrador encerra a música dizendo “Vou mentir de novo e de novo e continuarei mentindo, prometo”.

A música de Robert Earl Keen “The Road Goes On and On” faz alusão ao paradoxo. Acredita-se que a música seja escrita como parte do feudo de Keen com Toby Keith, que é presumivelmente o “mentiroso” a que Keen se refere.

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Paradoxo do conhecedor

O paradoxo do conhecedor é um paradoxo pertencente à família dos paradoxos da auto-referência (como o paradoxo do mentiroso). Informalmente, consiste em considerar uma sentença dizendo por si mesma que não é conhecida e aparentemente derivando a contradição de que tal sentença não é conhecida nem conhecida.

História
Uma versão do paradoxo já ocorre no capítulo 9 da Insolubilia de Thomas Bradwardine. Após a discussão moderna dos paradoxos da auto-referência, o paradoxo foi redescoberto (e apelidado com seu nome atual) pelos lógicos e filósofos dos EUA David Kaplan e Richard Montague, e agora é considerado um paradoxo importante na área. . O paradoxo tem conexões com outros paradoxos epistêmicos, como o paradoxo da forca e o paradoxo da conhecibilidade.

Formulação
A noção de conhecimento parece ser governada pelo princípio de que o conhecimento é fatorial:

(KF): Se a frase ‘P’ for conhecida, P
(onde usamos aspas simples para se referir à expressão linguística dentro das aspas e onde ‘é conhecido’ é a abreviação de ‘é conhecido por alguém em algum momento’). Também parece ser governado pelo princípio de que a prova produz conhecimento:

(PK): Se a frase ‘P’ tiver sido comprovada, então ‘P’ é conhecido
Considere, no entanto, a frase:

(K): (K) não é conhecido
Suponha por reductio ad absurdum que (K) seja conhecido. Então, por (KF), (K) não é conhecido e, por reductio ad absurdum, (K) não é conhecido. Agora, essa conclusão, que é a própria sentença (K), não depende de suposições não descarregadas e, portanto, acaba de ser provada. Portanto, por (PK), podemos concluir ainda que (K) é conhecido. Juntando as duas conclusões, temos a contradição de que (K) não é conhecido nem conhecido.

Soluções
Uma vez que, dado o lema diagonal, toda teoria suficientemente forte terá que aceitar algo como (K), o absurdo só pode ser evitado rejeitando um dos dois princípios do conhecimento (KF) e (PK) ou rejeitando a lógica clássica (que valida o raciocínio de (KF) e (PK) ao absurdo). O primeiro tipo de estratégia subdivide-se em várias alternativas. Uma abordagem se inspira na hierarquia dos predicados da verdade familiares do trabalho de Alfred Tarski sobre o paradoxo do mentiroso e constrói uma hierarquia semelhante de predicados do conhecimento. Outra abordagem sustenta um único predicado de conhecimento, mas toma o paradoxo para pôr em dúvida a validade irrestrita de (PK) ou pelo menos o conhecimento de (KF). O segundo tipo de estratégia também subdivide-se em várias alternativas. Uma abordagem rejeita a lei do meio excluído e, consequentemente, a reductio ad absurdum. Outra abordagem sustenta a reductio ad absurdum e, portanto, aceita a conclusão de que (K) não é conhecido nem conhecido, rejeitando assim a lei da não-contradição.

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Paradoxo de Kleene – Rosser

Em matemática, o paradoxo de Kleene-Rosser é um paradoxo que mostra que certos sistemas de lógica formal são inconsistentes, em particular a versão da lógica combinatória de Curry, introduzida em 1930, e o cálculo lambda original de Church, introduzido em 1932–1933, ambos originalmente pretendidos como sistemas de lógica formal. O paradoxo foi exibido por Stephen Kleene e JB Rosser em 1935.

O paradoxo
Kleene e Rosser foram capazes de mostrar que ambos os sistemas são capazes de caracterizar e enumerar suas funções teóricas numéricas comprovadamente totais e definíveis, o que lhes permitiu construir um termo que replica essencialmente o paradoxo de Richard na linguagem formal.

Mais tarde, Curry conseguiu identificar os ingredientes cruciais dos cálculos que permitiam a construção desse paradoxo, e usou isso para construir um paradoxo muito mais simples, agora conhecido como paradoxo de Curry.

Em 1935, Kleene e Rosser publicaram uma prova de que certos sistemas de lógica formal são inconsistentes, no sentido de que toda fórmula que pode ser expressa em sua notação também é demonstrável. Acontece que existem apenas dois sistemas na literatura aos quais essa prova de inconsistência se aplica; ou seja, o sistema da Igreja de 1932-1933 e o que eu chamei de sistema 8 em 1934. Mas, apesar dessa aplicação limitada, o argumento de Kleene e Rosser representa um teorema de grande importância para a orientação de pesquisas futuras. É um teorema do mesmo caráter geral que os famosos teoremas da incompletude de Löwenheim, Skolem e Godel, que desempenharam um papel tão proeminente em pesquisas recentes em fundamentos matemáticos.

A prova de Kleene e Rosser é longa e intrincada e contém complicações que tendem a obscurecer o significado essencial de seu teorema. Por conseguinte, existe algum interesse no problema de tornar esse paradoxo mais acessível e de apresentá-lo de forma a destacar esse significado essencial de maneira mais clara. É isso que o presente artigo tenta fazer. O paradoxo é aqui apresentado e derivado por um método que apresenta muitas vantagens, do ponto de vista indicado, sobre o dos descobridores originais.

Antes de iniciarmos uma discussão detalhada, será conveniente examinar o paradoxo de maneira vaga e preliminar e explicar em termos intuitivos a idéia central em sua derivação

Um dos objetivos para os quais os matemáticos se esforçam na criação de sistemas formais é a completude – com a qual não quero dizer completude no sentido técnico, mas simplesmente a adequação do sistema para um propósito ou outro.

Existem dois tipos de completude que interessam especialmente; ambos são propriedades desejáveis ​​de sistemas formais de lógica matemática. Essas completidades combinatórias e dedutivas, respectivamente. Eles podem ser explicados da seguinte maneira. Uma teoria é combinatorialmente completa se, e somente se, toda expressão A formada a partir dos termos do sistema e um auxiliar indeterminado ou variável x, puder ser representada no sistema como uma função de x (isto é, podemos formar no sistema uma função cuja O valor de qualquer argumento é o mesmo que o resultado da substituição desse argumento por x em W). Uma teoria é dedutivamente completa se, sempre que pudermos derivar uma proposição B com a hipótese de outra proposição A, podemos derivar sem hipótese uma terceira proposição (como A ^) B) expressando essa dedutibilidade. A completitude combinatória é, portanto, uma propriedade relacionada às possíveis construções de termos (ou fórmulas) dentro do sistema; completude dedutiva refere-se às possíveis derivações. A integridade dedutiva é uma propriedade bem conhecida de certos sistemas; considerando que a completitude combinatória só foi alcançada nos últimos anos.

A essência do teorema de Kleene-Rosser é que mostra que esses dois tipos de completude são incompatíveis – isto é, que qualquer sistema que possua os dois seja inconsistente. O argumento é essencialmente um refinamento do paradoxo de Richard; mostra, de fato, que o paradoxo de Richard pode ser configurado formalmente dentro do sistema.

Para ver isso de uma maneira preliminar, vamos montar o paradoxo de Richard, como segue. Em qualquer sistema formal de aritmética, o número de funções numéricas definíveis de números naturais é enumerável; que eles, portanto, sejam enumerados, digamos em uma sequência

Deixando de lado a explicação desse paradoxo de um ponto de vista intuitivo, vamos considerar o que acontece no caso de um sistema que é tanto combinatória quanto dedutivamente completo. Nesse sistema, se uma função é uma função numérica – isto é, se fornece valores numéricos para todos os argumentos numéricos (u) -, uma declaração formal desse fato pode ser demonstrada no sistema, uma vez que é dedutivamente completa; por meio de uma enumeração recursiva de todos os teoremas, o conjunto de todas as funções numéricas pode ser efetivamente enumerado em uma sequência. Como a teoria é combinatória, podemos definir no sistema a função /; isso é comprovadamente uma função numérica, e a demonstração desse fato nos dirá efetivamente o valor de n de tal forma que a contradição acima certamente surgirá.

Isso mostra de maneira grosseira a natureza do paradoxo. Antes de prosseguirmos com os desenvolvimentos formais, interpolarei algumas observações sobre a presente prova e sua relação com a de Kleene e Rosser.

Nas investigações de Church e seus alunos, a integridade combinatória postulada é enfraquecida, pois é necessário que o A realmente contenha x – de modo que não seja necessário um aparato para representar uma constante como uma função; há também um enfraquecimento na pontuação da completude dedutiva. Essas complicações não evitam o paradoxo, como Kleene e Rosser mostraram; mas eles aumentam consideravelmente o comprimento e complexidade da derivação. Se o objetivo é expor o nervo central do paradoxo, a abordagem lógica é realizar a prova do caso mais simples, o da completude combinatória (e dedutiva) no sentido forte, e depois mostrar quais modificações são necessárias. realizar a prova para o caso mais complicado.

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Paradoxo de Grelling-Nelson

O paradoxo de Grelling-Nelson é uma antinomia, ou um paradoxo auto-referencial semântico, referente à aplicabilidade a si própria da palavra “heterológico”, que significa “inaplicável a si próprio”. Foi formulado em 1908 por Kurt Grelling e Leonard Nelson, e às vezes é erroneamente atribuído ao filósofo e matemático alemão Hermann Weyl. É, assim, ocasionalmente chamado de paradoxo de Weyl e paradoxo de Grelling. Está intimamente relacionado a vários outros paradoxos conhecidos, em particular, o paradoxo do barbeiro e o paradoxo de Russell.

O paradoxo
Suponha que se interprete os adjetivos “autológico” e “heterológico” da seguinte maneira:

Um adjetivo é autológico (às vezes homológico) se se descreve. Por exemplo, a palavra em inglês “inglês” é autológica, assim como “sem hífen” e “pentassilábico”.
Um adjetivo é heterológico se não se descreve. Portanto, “longo” é uma palavra heterológica (porque não é uma palavra longa), como são “hifenizados” e “monossilábicos”.

Todos os adjetivos, ao que parece, devem ser autológicos ou heterológicos, pois cada adjetivo se descreve ou não. Problemas surgem em vários casos, no entanto.

Descrição
Grelling e Nelson, ao formar sua antinomia, assumem que cada classe é definida por uma característica que denota uma palavra. Por exemplo, a palavra “monossilábico” denota o recurso da classe de todas as palavras monossilábicas. Em seguida, você divide as palavras em duas classes, definidas da seguinte maneira:

Uma palavra autológica em si tem a característica que designa, mas uma palavra heteróloga não. As palavras “alemão” ou “três sílabas” são autológicas, porque “alemão” é uma palavra alemã e “três sílabas” é uma palavra de três sílabas. No entanto, a maioria das palavras é heterológica, por exemplo, “inglês” e “monossilábico”, porque “inglês” não é uma palavra em inglês e “monossilábico” não é uma palavra monossilábica.

Parece que cada palavra pode ser classificada em uma dessas duas classes sem contradição, mas surgem problemas quando você olha mais de perto.

Casos paradoxais
O paradoxo de Grelling-Nelson surge quando consideramos o adjetivo “heterológico”. Pode-se perguntar: “heterológico” é uma palavra heterológica? Se a resposta for “não”, então “heterológico” é autológico. Isso leva a uma contradição, pois nesse caso “heterológico” não se descreve: deve ser uma palavra heterológica. Mas se a resposta for “sim”, então “heterológico” é heterológico. Isso novamente leva a uma contradição, porque se a palavra “heterológico” se descreve, é autológica.

“Heterológico” é uma palavra heterológica?
não → “heterológico” é autológico → “heterológico” se descreve → “heterológico” é heterológico, contradição
sim → “heterológico” é heterológico → “heterológico” não se descreve → “heterológico” não é heterológico, contradição

O paradoxo pode ser eliminado, sem alterar o significado de “heterológico”, onde era previamente bem definido, modificando ligeiramente a definição de “heterológico” para conter todas as palavras não-autológicas, exceto “heterológico”. Mas “não-autológico” está sujeito ao mesmo paradoxo, para o qual essa evasão não é aplicável porque as regras do inglês determinam exclusivamente seu significado do significado de “autológico”. Uma leve modificação semelhante à definição de “autológico” (como declarar falso de “não-autológico” e seus sinônimos) pode parecer corrigir isso, mas o paradoxo ainda permanece para sinônimos de “autológico” e “heterológico”, como “auto-descritivo” ”E“ não-descritivo ”, cujos significados também precisariam ser ajustados, e as conseqüências desses ajustes precisariam ser perseguidos e assim por diante. Libertar o inglês do paradoxo de Grelling-Nelson implica consideravelmente mais modificações na linguagem do que meros refinamentos nas definições de “autológico” e “heterológico”, que nem precisam estar no idioma para o paradoxo surgir. O escopo desses obstáculos para o inglês é comparável ao do paradoxo de Russell para a matemática fundada em conjuntos.

Casos arbitrários
Pode-se também perguntar se “autológico” é autológico. Pode ser escolhido consistentemente para ser:

se dizemos que “autológico” é autológico e depois perguntamos se ele se aplica a si mesmo, então sim, se aplica e, portanto, é autológico;
se dizemos que “autológico” não é autológico e depois perguntamos se ele se aplica a si mesmo, então não, não se aplica e, portanto, não é autológico.

Este é o oposto da situação para a heterologia: enquanto “heterológico” logicamente não pode ser autológico ou heterológico, “autológico” também pode ser. (Não pode ser ambos, pois a categoria de autológico e heterológico não pode se sobrepor.)

Em termos lógicos, a situação para “autológico” é:

“Autológico” é autológico se e somente se “autológico” for autológico
A se e somente se A, uma tautologia

enquanto a situação para “heterológico” é:

“Heterológico” é heterológico se e somente se “heterológico” for autológico
A se e somente se não A, uma contradição.

Casos ambíguos
Pode-se também perguntar se “alto” é autológico ou heterológico. Se dito em voz alta, “alto” é autológico; caso contrário, é heterológico. Isso mostra que alguns adjetivos não podem ser inequivocamente classificados como autológicos ou heterológicos. Newhard procurou eliminar esse problema, levando o Paradox de Grelling a lidar especificamente com os tipos de palavras, em oposição aos tokens de palavras.

Soluções
Na antinomia, Grelling e Nelson transferiram a antinomia de Russell para o nível do idioma, atribuindo um nome a cada classe por meio de uma função única reversível; a classe russeliana corresponde à classe de palavras heterológicas{\ displaystyle H = \ {\ varphi (x) \ mid \ varphi (x) \ notin x \}}, de modo a\ varphi (H)denota a palavra “heterológico”. Portanto, a solução da antinomia de Grelling-Nelson é completamente paralela à solução da antinomia de Russell: pode-se provar que a classe\, H, Hof, todas as palavras heterológicas não são um conjunto, mas uma chamada classe real.

A antinomia de Grelling-Nelson tem, portanto, a seguinte consequência lógica: a dada bijeção\ varphi, que especifica o nome de uma classe de palavras, não pode ser implementado logicamente. Com um conjunto de palavras acima de um alfabeto que descreve todos os idiomas comuns, uma função lógica interna que dá nome a todas as classes não pode ser formada; aqui as classes reais permanecem sem nome, porque não podem ser argumentos em funções. Isso significa que os requisitos de idioma para a antinomia não são atendidos. É, portanto, um dos chamados paradoxos semânticos, nos quais uma situação metalingüística é inadmissivelmente atraída para o nível da linguagem lógica. A nomeação de qualquer classe\ varphié correto apenas como uma função de metalinguagem que afeta a formação da fórmula. Mas se você {\ displaystyle \ varphi} \ varphi como Grelling-Nelson assume como uma função lógica analógica, não se pode provar que seja uma bijeção, porque a contradição mostra que esse pressuposto ingênuo está errado.

Ao resolver a teoria de tipo ramificado mais comum, a sintaxe é restrita, de modo que as instruções\ varphi (x) \ em xe\ varphi (x) \ notin xnão são mais sintaticamente corretos e as duas classes de palavras não podem mais ser formadas e definidas. As classes de palavras têm um tipo mais alto que seus elementos (palavras) e a função\ varphitipo ainda mais alto que as classes de palavras. Portanto, são valores de função\ varphi (x)não como elementos de\, x, xauthorized. Portanto, a teoria dos tipos tenta resolver os problemas introduzindo níveis de linguagem e, portanto, precisa de uma sintaxe complicada que limite severamente as possibilidades de linguagem. A formulação na lógica predicada do primeiro estágio, que, como a antinomia de Russell, é suficiente para resolver o problema, evita esse esforço e permite as referidas fórmulas; aqui as conclusões permitidas são suficientes para provar que os requisitos da antinomia de Grelling-Nelson são inconsistentes.

Semelhanças com o paradoxo de Russell
O paradoxo de Grelling-Nelson pode ser traduzido no famoso paradoxo de Bertrand Russell da seguinte maneira. Primeiro, é preciso identificar cada adjetivo com o conjunto de objetos aos quais esse adjetivo se aplica. Assim, por exemplo, o adjetivo “vermelho” é igualado ao conjunto de todos os objetos vermelhos. Dessa maneira, o adjetivo “pronunciável” é equiparado ao conjunto de todas as coisas pronunciáveis, uma das quais é a própria palavra “pronunciável”. Assim, uma palavra autológica é entendida como um conjunto, cujos elementos são o próprio conjunto. A questão de saber se a palavra “heterológico” é heterológica torna-se a questão de saber se o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm se contém como um elemento.

Importância para o entretenimento Linguística
Devido à sua raridade, encontrar palavras autológicas é um desafio, especialmente se palavras com negações como “incombustível” forem excluídas. Além de adjetivos, substantivos, verbos (“fim”, “conter”, “existir”), advérbios (inglês “polissilábicamente” multi-sílaba)) e outras palavras (“es”, “aqui”) são mencionados, nos quais existem duas definições para substantivos autológicos dão. Segundo uma definição, um substantivo é considerado autológico se descrever a característica que possui, segundo outro se descrever o que é. De acordo com a primeira definição, “quatro sílabas” (é quatro sílabas) e “antonimia” (é antônimo, ou seja, sinônimo) Exemplos de substantivos autológicos, após a segunda “três sílabas” (é uma sílaba) e ” Antônimo ”(é um antônimo). As palavras “haplogia” (para haplologia) e “oxímoro” foram formadas para serem autológicas de acordo com a segunda definição.

A palavra “Proparoxytonon” é autológica no sentido mais amplo (palavra enfatizada na penúltima sílaba, seja grega ou outra língua). “Neologismo” (criação de novas palavras) já foi uma palavra autológica, mas não é mais usada hoje. O “protologismo” (cunhado por Mikhail Epstein para sugerir novas palavras que ainda não são comuns e, portanto, ainda não alcançaram o status de neologismo) ainda é autológico, mas pode perder esse status. “Inacabado” está inacabado, mas não descreve corretamente essa propriedade e, portanto, não deve ser visto como uma palavra autóloga. “Citação” não é autológico, porque não é a palavra “citação” que é uma citação, mas a citação “” citação “”.

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Paradoxo de Epimenides

O paradoxo de Epimenides revela um problema de auto-referência na lógica. É nomeado após o filósofo cretense Epimenides of Knossos (vivo por volta de 600 aC), que é creditado com a declaração original. Uma descrição típica do problema é dada no livro Gödel, Escher, Bach, de Douglas Hofstadter:

Epimenides foi um cretense que fez uma declaração imortal: “Todos os cretenses são mentirosos”.

Um paradoxo da auto-referência surge quando se considera se é possível que Epimênides tenha falado a verdade.

Paradoxo lógico
Thomas Fowler (1869) declara o paradoxo da seguinte forma: “Epimênides, o cretense, diz que ‘todos os cretenses são mentirosos’, mas Epimênides é ele próprio um cretense; portanto, ele próprio é um mentiroso. Mas se ele é um mentiroso, o que ele diz é falso e, consequentemente, os cretenses são verdadeiros; mas Epimênides é um cretense e, portanto, o que ele diz é verdadeiro; dizendo que os cretenses são mentirosos, Epimênides é mentiroso, e o que ele diz é falso. Assim, podemos continuar a provar alternadamente que Epimênides e os cretenses são verdadeiros e mentirosos. ”

O paradoxo de Epimenides nesta forma, no entanto, pode ser resolvido. Existem duas opções: é verdadeira ou falsa. Primeiro, suponha que seja verdade, mas Epimênides, sendo cretense, seria um mentiroso, e assumindo que os mentirosos apenas fazem declarações falsas, a afirmação é falsa. Portanto, supor que a afirmação é verdadeira nos leva a concluir que a afirmação é falsa. Isso é uma contradição, portanto a opção de a afirmação ser verdadeira não é possível. Isso deixa a segunda opção: que é falsa.

Se assumirmos que a afirmação é falsa e que Epimênides está mentindo sobre todos os cretenses serem mentirosos, deve haver pelo menos um cretense que seja honesto. Isso não leva a uma contradição, pois não é necessário que esse cretense seja epimênides. Isso significa que Epimênides pode dizer a falsa afirmação de que todos os cretenses são mentirosos, conhecendo pelo menos um cretense honesto e mentindo sobre esse cretense em particular. Portanto, partindo do pressuposto de que a afirmação é falsa, não se segue que a afirmação seja verdadeira. Portanto, podemos evitar um paradoxo ao ver a afirmação “todos os cretenses são mentirosos” como uma afirmação falsa, feita por um cretense mentiroso, Epimênides. O erro cometido por Thomas Fowler (e muitas outras pessoas) acima é pensar que a negação de “todos os cretenses são mentirosos” é “todos os cretenses são honestos” (um paradoxo) quando, na verdade, a negação é “existe um cretense que é honesto ”ou“ nem todos os cretenses são mentirosos ”.

O paradoxo de Epimenides pode ser ligeiramente modificado para não permitir o tipo de solução descrito acima, como ocorreu no primeiro paradoxo de Eubulides, mas levando a uma autocontradição não evitável. As versões paradoxais do problema de Epimenides estão intimamente relacionadas a uma classe de problemas lógicos mais difíceis, incluindo o paradoxo do mentiroso, o paradoxo socrático e o paradoxo de Burali-Forti, todos com auto-referência em comum com Epimenides. De fato, o paradoxo de Epimenides é geralmente classificado como uma variação do paradoxo do mentiroso, e às vezes os dois não se distinguem. O estudo da auto-referência levou a importantes desenvolvimentos em lógica e matemática no século XX.

Em outras palavras, não é um paradoxo uma vez que se percebe que “todos os cretenses são mentirosos”, sendo falso apenas significa “nem todos os cretenses são mentirosos” em vez da suposição de que “todos os cretenses são honestos”.

Talvez seja melhor que, para “Todos os cretenses sejam mentirosos” seja uma afirmação verdadeira, isso não significa que todos os cretenses devam mentir o tempo todo. De fato, os cretenses podiam dizer a verdade com bastante frequência, mas ainda assim todos são mentirosos, no sentido de que os mentirosos são pessoas propensas à decepção por ganhos desonestos. Considerando que “todos os cretenses são mentirosos” só é visto como um paradoxo desde o século XIX, isso parece resolver o suposto paradoxo. Certamente, se “todos os cretenses são mentirosos contínuos” é realmente verdade, então perguntar a um cretense se são honestos sempre provocaria a resposta desonesta “sim”. Então, sem dúvida, a proposição original não é tão paradoxal quanto inválida.

Uma leitura contextual da contradição também pode fornecer uma resposta para o paradoxo. A frase original, “Os cretenses, sempre mentirosos, bestas más, barrigas vãs!” afirma não um paradoxo intrínseco, mas uma opinião dos cretenses de Epimênides. Um estereótipo de seu povo não pretendia ser uma afirmação absoluta sobre o povo como um todo. Pelo contrário, é uma afirmação feita sobre sua posição em relação a suas crenças religiosas e atitudes socioculturais. Dentro do contexto de seu poema, a frase é específica de uma certa crença, um contexto que Callimachus repete em seu poema sobre Zeus. Além disso, uma resposta mais pungente ao paradoxo é simplesmente que ser um mentiroso é declarar falsidades, nada na afirmação afirma que tudo o que é dito é falso, mas sim “sempre” mentindo. Esta não é uma afirmação de fato absoluta e, portanto, não podemos concluir que haja uma verdadeira contradição feita por Epimênides com essa afirmação.

Origem da frase
Epimênides era um filósofo e profeta religioso do século VI aC que, contra o sentimento geral de Creta, propôs que Zeus era imortal, como no seguinte poema:

Eles formaram uma tumba para ti, ó santo e elevado
Os cretenses, sempre mentirosos, bestas más, barrigas vãs!
Mas tu não estás morto; vives e permaneces para sempre,
Pois em ti vivemos, nos movemos e existimos.
– Epimenides, Cretica

Negar a imortalidade de Zeus, então, era a mentira dos cretenses.

A frase “cretenses, sempre mentirosos” foi citada pelo poeta Calímaco em seu hino a Zeus, com a mesma intenção teológica de Epimênides:

Ó Zeus, alguns dizem que você nasceu nas colinas de Ida;
Outros, ó Zeus, dizem em Arcádia;
Estes ou aqueles, ó Pai, mentiram? – “Os cretenses são sempre mentirosos.”
Sim, uma tumba, ó Senhor, para ti os cretenses edificaram;
Mas você não morreu, pois é para sempre.
– Calímaco, Hino I a Zeus

Emergência como contradição lógica
A inconsistência lógica de um cretense que afirma que todos os cretenses são sempre mentirosos pode não ter ocorrido a Epimênides, nem a Calimachus, que usou a frase para enfatizar seu argumento, sem ironia, talvez significando que todos os cretenses mentem rotineiramente, mas não exclusivamente.

No século I dC, a citação é mencionada por Paulo como tendo sido falada verdadeiramente por “um de seus próprios profetas”.

Um dos profetas de Creta disse: “Os cretenses são sempre mentirosos, brutamontes, barrigas vãs”.
Ele certamente disse a verdade. Por essa razão, corrija-os com firmeza, para que sejam sólidos na fé, em vez de prestar atenção às fábulas judaicas e aos mandamentos de pessoas que dão as costas à verdade.
– Epístola a Tito, 1: 12–13

Clemente de Alexandria, no final do século II dC, deixa de indicar que o conceito de paradoxo lógico é uma questão:

Em sua epístola a Tito, o apóstolo Paulo quer alertar Tito de que os cretenses não acreditam na única verdade do cristianismo, porque “os cretenses são sempre mentirosos”. Para justificar sua afirmação, o apóstolo Paulo cita Epimênides.
– Stromata 1.14

Durante o início do século IV, Santo Agostinho reafirma o paradoxo do mentiroso intimamente relacionado em Contra os acadêmicos (III.13.29), mas sem mencionar Epimênides.

Na Idade Média, muitas formas do paradoxo do mentiroso foram estudadas sob o título de insolubilia, mas elas não estavam explicitamente associadas a Epimenides.

Finalmente, em 1740, o segundo volume do Dictionnaire Historique et Critique de Pierre Bayle conecta explicitamente Epimenides ao paradoxo, embora Bayle rotule o paradoxo de “sofisme”.

Referências de outros autores
Todas as obras de Epimenides estão agora perdidas e conhecidas apenas através de citações de outros autores. A citação da Cretica of Epimenides é dada por RN Longenecker, “Atos dos Apóstolos”, no volume 9 do Comentário Bíblico do Expositor, Frank E. Gaebelein, editor (Grand Rapids, Michigan: Zondervan Corporation, 1976–1984), página 476. Longenecker, por sua vez, cita MD Gibson, Horae Semiticae X (Cambridge: Cambridge University Press, 1913), página 40, “in Syriac”. Longenecker afirma o seguinte em uma nota de rodapé:

A Síria. A versão da quadra nos chega da Síria. pai da igreja, Isho’dad, de Merv (provavelmente baseado no trabalho de Theodore de Mopsuestia), que JR Harris traduziu de volta ao Gr. em Exp [“O Expositor”] 7 (1907), p 336.

Uma referência oblíqua a Epimenides no contexto da lógica aparece em “The Logical Calculus”, de WE Johnson, Mind (Nova Série), volume 1, número 2 (abril de 1892), páginas 235–250. Johnson escreve em uma nota de rodapé,

Compare, por exemplo, as ocasiões de falácia fornecidas por “Epimenides é um mentiroso” ou “Essa superfície é vermelha”, que podem ser resolvidas em “Todas ou algumas afirmações de Epimenides são falsas”, “Toda ou parte da superfície é vermelho.”

O paradoxo de Epimenides aparece explicitamente em “Lógica matemática como baseada na teoria dos tipos”, de Bertrand Russell, no American Journal of Mathematics, volume 30, número 30 (número 3 (julho de 1908), páginas 222–262, que se abre com o seguinte :

A mais antiga contradição do tipo em questão é a Epimênides. Epimenides, o cretense, disse que todos os cretenses eram mentirosos, e todas as outras declarações feitas pelos cretenses certamente eram mentiras. Isso era mentira?

Nesse artigo, Russell usa o paradoxo de Epimenides como ponto de partida para discussões de outros problemas, incluindo o paradoxo de Burali-Forti e o paradoxo agora chamado paradoxo de Russell. Desde Russell, o paradoxo de Epimenides tem sido referenciado repetidamente na lógica. Típica dessas referências é Gödel, Escher, Bach, de Douglas Hofstadter, que atribui ao paradoxo um lugar de destaque na discussão da auto-referência.

Comente
Antes de começar, deve ser esclarecido que está estabelecido que um mentiroso faz apenas declarações falsas. Essa definição é comum no estudo da lógica, e é possível obter esse paradoxo com menos ambiguidade (mas também com muita complexidade) se for formulada como Todos os cretenses são pessoas cujas afirmações são sempre falsas.

Seguindo essa definição, à primeira vista, a alegação parece contraditória, já que Epimênides afirma estar mentindo (veja o paradoxo do mentiroso). Isso não é realmente verdade, porque, embora a afirmação possa não ser verdadeira, pode ser falsa. Se supusermos que seja verdade, Epimênides está afirmando que, como qualquer cretense, ele está mentindo e, portanto, a afirmação seria falsa e chegaria a uma autocontradição. Mas se supomos que é falso, não chegamos a uma contradição, pois se a afirmação Todos os cretenses é falsa, significa que há pelo menos um cretense, não necessariamente Epimênides, que diz a verdade. Portanto, é perfeitamente possível que a afirmação seja falsa e essa afirmação não seja um verdadeiro paradoxo.

É um falso paradoxo, pois na realidade comete falácia em sua primeira proposição: todos os cretenses são mentirosos. As proposições devem ser baseadas em fatos comprovados, e isso não é realmente um fato comprovado, mas uma indeterminação que deve ser justificada como verdadeira. Você não pode iniciar uma discussão sobre uma proposição indeterminada. Você deve começar com um fato comprovado. E sabemos que Epimênides é cretense (fato comprovado) e afirma ser (fato comprovado), portanto, devemos começar o raciocínio deste lado:

Epimenides é Cretan
Epimenides diz que é
→ Epimenides diz a verdade.

E a partir daí você obtém:

Todos os cretenses sempre mentem
Epimenides é cretense e às vezes diz a verdade
→ Então é falso afirmar que todos os cretenses sempre mentem

Para terminar de posar corretamente:

Nem todos os cretenses sempre mentem (fato comprovado)
Epimenides diz que sim (proposição)
→ Epimenides encontra-se (conclusão, fato comprovado)

Portanto, o paradoxo pode ser levantado novamente: “se Epimênides mentir, ele é um mentiroso”. Mas se primeiro aceitarmos a definição de mentiroso como alguém que SEMPRE conta mentiras, a abordagem lógica mais uma vez interrompe o paradoxo:

Epimenides, como um cretense, afirma ser um mentiroso: alguém que sempre mente.
Sabemos que Epimênides disse a verdade de vez em quando
→ Então é falso que Epimênides sempre mente

E como ele é cretense, é falso que todos os cretenses sempre mentam.

Concluindo, esse falso paradoxo se baseia em duas falácias: tomar uma proposição como certa sem ser assim e uma falácia lexical que confunde os conceitos “mentiroso” e “alguém que sempre conta mentiras”. Em pureza, não se pode dizer que alguém “seja” um mentiroso; não é uma essência, mas um estado. Pode-se mentir, como Epimênides, mas também pode dizer a verdade. Contar uma mentira não faz de você um mentiroso que sempre conta mentiras. É por isso que é importante, antes do raciocínio, esclarecer as definições: se ser um mentiroso é alguém que ocasionalmente mente, ou se ele é alguém que sempre mente. No primeiro caso, se definirmos “mentiroso” como alguém que mente ocasionalmente, o paradoxo não é esse, mas novamente uma falácia com uma conclusão falsa:

Epimenides é um mentiroso (às vezes ele mente)
Epimenides é Cretan
→ Todos os cretenses são mentirosos (ocasionalmente mentem)

A conclusão não pôde ser inferida a partir das proposições. Não se sabe se todos os cretenses são mentirosos ocasionais. Somente Epimenides é conhecido por ser.

Solução
Todos os cretenses são mentirosos, sou cretense e depois minto. Portanto, o que é afirmado nesta sentença é uma mentira, voltando a mentir para cada morfema adicionado.

Conceitos para avaliar:

Todo o mundo.
Mentirosos.
Cretense.

Para esclarecer o paradoxo, a lógica nebulosa teria que ser aplicada, 5 estabelecendo que ela diz a Verdade, diz uma Lie ou Ni fu ni fa.

Você deseja comparar as informações

Cidadão = Cretenses / Todos ‘Esta divisão resultará em 1’

Todos os cidadãos querem contar e, para isso, a conta deve ser calculada:

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Pessoa (verdadeira)
{
O indivíduo = tudo deve ser conhecido (conta = conta + cidadão)
Se a informação é igual a verdade
estabelece-se que o indivíduo é uma pessoa = verdade
Se a informação é igual a mentira
fica estabelecido que o indivíduo é uma pessoa = mentiroso
Em qualquer um dos outros casos
Valor nulo para a pessoa
}
Se Pessoa (verdade) é um Mentiroso, então
Um é adicionado à conta Lie
Se Pessoa (verdade) é Verdade, então
Um é adicionado à conta da verdade
qualquer outro caso
Um é adicionado à conta ni fu ni fa
Contagem final
Agora, a contagem de mentiras é comparada ao valor de todos.

Se são iguais, todos os cretenses são mentirosos.

Este exemplo mostra que todos serão mentirosos para um caso específico, e não para todos os casos que possam surgir. Se se presume que eles são para todos os casos, isso envolve um paradoxo. A menos que todos os casos sejam examinados um por um, a declaração será verdadeira para informações processadas e não para informações que ainda não foram processadas. Esse paradoxo, quando valores absolutos são assumidos, é frequentemente usado na falácia do verdadeiro escocês.

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Paradoxo do Tribunal

O paradoxo da corte, também conhecido como contra-dilema de Euathlus, é um paradoxo originário da Grécia antiga. Diz-se que o famoso sofista Protágoras contratou um aluno, Euathlus, com o entendimento de que o estudante paga a Protágoras por sua instrução depois de vencer seu primeiro processo judicial. Após a instrução, Euathlus decidiu não ingressar na profissão de advogado, e Protágoras decidiu processar Euathlus pelo montante devido.

Protágoras argumentou que se ele vencesse o caso, ele receberia seu dinheiro. Se Euathlus vencesse o caso, Protágoras ainda seria pago de acordo com o contrato original, porque Euathlus venceria seu primeiro caso. Euathlus, no entanto, alegou que, se ele vencesse, por decisão do tribunal, ele não teria que pagar Protágoras. Se, por outro lado, Protágoras vencesse, então Euathlus ainda não teria vencido um caso e, portanto, não seria obrigado a pagar. A questão é: qual dos dois homens está certo?

A história é contada pelo autor latino Aulus Gellius em Attic Nights.

Análise
Do ponto de vista moral, pode-se argumentar que ambas as partes estavam certas ou que nenhuma estava certa, devido à natureza ambígua da situação. No entanto, por uma questão de lei, se o tribunal decidir a favor de Protágoras, as condições do contrato original entre ele e seu aluno seriam inválidas e Evatlo teria que pagar Protágoras. Se, pelo contrário, a Evatlo fosse a vencedora, o tribunal também poderia cancelar sua obrigação de pagar.

A maneira pela qual o tribunal pode tomar sua decisão também não é um paradoxo de um ponto de vista objetivo. O tribunal pode decidir que Evatlo (como réu) violou os termos do contrato ou não o fez. As elucubrações subsequentes não teriam consequências legais na decisão do tribunal.

Em alguns casos, o réu civil, se receber o favor do tribunal, também estará protegido dos pagamentos associados ao ato de ir a julgamento. De fato, a Corte poderia ordenar que Protágoras, como demandante perdedor, pagasse a Evatlo a quantia que lhe custava ganhar. Nesse caso, a Evatlo pagaria a Protágoras e o dinheiro seria devolvido por ordem judicial. O contrato original teria sido cumprido e Evatlo não teria nenhuma obrigação adicional de pagar por suas instruções à Protágoras. O resultado para Protágoras seria que ele teria perdido o caso, recebido o pagamento de acordo com o contrato original e depois teria que pagar as perdas do litigante pela reclamação falhada (que, nesse caso, seria igual ou maior que o custo da educação de Evatlo)

Além disso, a Evatlo poderia contratar um advogado para se encarregar do caso, invalidando o presente caso como exemplo de pagamento.

Segundo a história, Euathlos era pobre e não podia pagar as lições de Protágoras. Este último o aceitou como discípulo depois de ter concluído o seguinte acordo:

Euathlos reembolsará as lições aprendidas quando vencer seu primeiro julgamento.
Depois que sua educação terminou, Eualthos recusou-se a advogar como advogado e a pagar Protágoras. Sem implorar, ele não poderia vencer nenhum julgamento. Não tendo vencido uma ação, ele não precisou reembolsar seu mestre. Protágoras então o atacou no tribunal, a fim de forçar seu aluno a implorar.

O raciocínio de Protágoras é o seguinte:

Se Eualthos vencer sua ação, ele deve reembolsar seu mestre, porque estes eram os termos do acordo.
Se Eualthos perde seu julgamento, ele deve reembolsar seu mestre, porque a justiça o obriga a fazê-lo.

Protágoras seria, portanto, reembolsado independentemente do resultado do julgamento. Em virtude do acordo com a Eualthos ou por uma decisão judicial. O paradoxo intervém na resposta do discípulo. Segundo ele, ele não terá nada para reembolsar. Qualquer que seja o resultado do julgamento, ele não pagará.

Seu raciocínio do discípulo é expresso da seguinte maneira:

Se ele vencer sua ação, ele não deve reembolsar seu mestre, pois a justiça o absolveu.
Se ele perde o julgamento, não deve reembolsar seu mestre, pois suas lições são ineficazes.

Por fim, como devemos julgar esse conflito?

Talvez observando que, para julgar, devemos primeiro esperar pelo resultado do julgamento, pois é esse resultado que determina quem está errado e quem está certo. O que abre duas possibilidades:

Portanto, basta esperar até que o julgamento termine para poder continuar; e enquanto isso, Euathlos sem dúvida estará envolvido em outro julgamento mais significativo …
rejeitar Protágoras, uma vez que seu julgamento é sem causa: o resultado do primeiro julgamento de Euathlos ainda não é conhecido, Protágoras não pode afirmar que Euathlos já lhe deve algo, isso é contrário ao acordo. Para que o paradoxo desapareça, o juiz deve primeiro concordar com Euathlos. Protágoras pode então iniciar outro julgamento.

De fato, através do jogo entre duas normas jurídicas independentes (lei contratual e o acordo inicial entre as duas partes), o juiz se encontra em uma situação em que o resultado que ele deve pronunciar é sempre o oposto do que ele deve ser: designar Protágoras como um vencedor, ele deve considerá-lo um perdedor (e vice-versa). É um paradoxo clássico auto-referencial, do tipo mentiroso, mas com uma dimensão temporal que deve ser levada em consideração (como no paradoxo do avô, onde um indivíduo capaz de viajar no tempo mata seus pais antes de seu nascimento).

Outra teoria
Outra maneira de analisar o caso é a seguinte:

Evatlo venceria seu caso, já que Protágoras o processou ANTES de Evatlo vencer seu primeiro caso. Protágoras perderia esse caso em particular porque Evatlo ainda não venceu um caso e, portanto, a causa da ação de Protágoras ainda não havia se manifestado.

A nova vitória de Evatlo seria considerada um novo teste para Protágoras, que é o motivo de um novo julgamento.

Pode-se criticar que, embora isso represente uma solução prática, não resolve o paradoxo lógico. No entanto, isso pode ser desafiado pela identificação de uma suposição-chave na lógica, a dos estados eternos.

Essa solução funciona porque observa a suposição dos estados eternos, ou seja, a descrição se aplica ao longo do tempo. Se essa suposição for falsa, que o tribunal tomar a decisão sem o conhecimento dos resultados do julgamento (ou excluir evidências a qualquer momento após o início do caso, mas após o término do caso), poderá ser resolvido porque O aluno não venceu o caso naquele momento. O tribunal pode decidir que não ganhou, portanto, não precisa pagar sem contradição. Uma nova demanda por Protágoras também não é contraditória. Neste segundo processo, o status do aluno mudou: ele agora venceu um caso. A segunda demanda não inclui o resultado da primeira, porque é anterior ao segundo julgamento e o tribunal pode decidir livremente a favor da Protágoras. Se assumirmos estados eternos, o tribunal terá que conhecer todos os casos em que o aluno participará ao longo de sua vida, tanto no passado quanto no futuro. Nesse caso, haveria uma contradição para uma suposição que não seria realista. Portanto, o aluno poderia ganhar o primeiro caso, mas perder o segundo, pois isso acontece em diferentes momentos de sua vida.

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Dilema de crocodilo

O paradoxo do crocodilo, também conhecido como sofisma do crocodilo, é um paradoxo na lógica na mesma família de paradoxos que o paradoxo do mentiroso. A premissa afirma que um crocodilo que roubou um filho promete ao pai / mãe que seu filho será devolvido se, e somente se, preverem corretamente o que o crocodilo fará a seguir.

Conteúdo
O fechamento de crocodilos é um paradoxo dialético clássico da antiguidade que se refere a uma conversa fictícia entre um crocodilo e uma mãe. O crocodilo roubou um filho da mãe. A pedido da mãe para devolver a criança, o crocodilo promete devolver a criança e somente se a mãe adivinhar corretamente o que fará com a criança.

Desta forma, a mãe está sujeita a uma captura.

Ela responde, ou seja, o crocodilo fará a criança voltar, estará de acordo com a lógica de sua proposta feita com a máxima segurança que a criança perde, porque o crocodilo é sim do que os invasores do interesse da criança em manter a criança.

Se, no entanto, ela responder que o crocodilo não devolve a criança de acordo com o interesse dele, ela está colocando o crocodilo em um dilema argumentativo. Se o crocodilo mantém a criança, ele viola sua própria palavra. O crocodilo pode, portanto, responder apenas que não se sente vinculado à sua palavra, uma vez que a própria mãe descartou a possibilidade lógica de retornar através de sua resposta. A mãe só pode continuar reclamando seu filho de volta, de acordo com o contrato.

Declaração do paradoxo
Podemos afirmar o paradoxo da seguinte maneira:

Um crocodilo pega um bebê e diz à mãe: “Se você adivinhar o que eu vou fazer, eu devolverei o bebê, caso contrário, eu o comerei. ”

Supondo que o crocodilo mantenha sua palavra, o que a mãe deve dizer para que o crocodilo devolva a criança à mãe?

Uma resposta usual da mãe é: “Você a devorará! ”

Se o crocodilo devorasse a criança, a mãe teria acertado e o crocodilo teria que devolver a criança.

Se o crocodilo devolvesse a criança, a mãe estaria errada e o crocodilo teria que devorá-lo.

Nos dois casos, o crocodilo não pode manter sua palavra e se depara com um paradoxo.

Segundo Lewis Carroll, o crocodilo vai comer a criança, porque é de natureza natural. Esse paradoxo foi contado por Lucien de Samosate, que o coloca na boca do estóico Crisóstomo, no diálogo Seitas em leilão.

Essa falácia crocodiliana é relatada por Quintilian em seu trecho da Oratory Institution, autor latino do século I.

No entanto, se a mãe responder: “você vai me devolver”, não há mais paradoxo e a proposição é verdadeira, se o crocodilo devolve a criança ou se ela a devora.

O verdadeiro e o falso
Esse paradoxo é semelhante ao paradoxo do mentiroso, no sentido de que, se queremos que a afirmação seja verdadeira, ela se torna falsa e, se queremos que ela seja falsa, ela se torna verdadeira.

Há uma resposta mais sutil da mãe, que é: “Você vai devorar meu filho ou vai devolvê-lo!” ”

O crocodilo não pode manter sua palavra e devorar a criança. Sua única possibilidade de cumprir sua palavra é devolver a criança. Nesse caso, a mãe terá previsto o que o crocodilo fará.

Esse tipo de situação é chamado de “lógica coercitiva” por Raymond Smullyan em seu livro Les Énigmes de Shéhérazade. Os exemplos que ele dá no capítulo “A Grande Questão” correspondem exatamente à situação do paradoxo dos crocodilos.

A transação é logicamente suave, mas imprevisível se o pai achar que a criança será devolvida, mas surgirá um dilema para o crocodilo se o pai achar que a criança não será devolvida. No caso em que o crocodilo decide manter a criança, ele viola seus termos: a previsão dos pais foi validada e a criança deve ser devolvida. No entanto, no caso em que o crocodilo decide devolver a criança, ele ainda viola seus termos, mesmo que essa decisão se baseie no resultado anterior: a previsão dos pais foi falsificada e a criança não deve ser devolvida. A questão do que o crocodilo deve fazer é, portanto, paradoxal, e não há solução justificável.

O dilema do crocodilo serve para expor alguns dos problemas lógicos apresentados pelo metaknowledge. A esse respeito, é semelhante em construção ao paradoxo inesperado do enforcamento, que Richard Montague (1960) usou para demonstrar que as seguintes suposições sobre o conhecimento são inconsistentes quando testadas em conjunto:

(i) Se ρ é conhecido como verdadeiro, então ρ.

(ii) Sabe-se que (i).

(iii) Se ρ implica σ, e ρ é conhecido como verdadeiro, então σ também é conhecido como verdadeiro.

Fontes gregas antigas foram as primeiras a discutir o dilema dos crocodilos.

Tipo
Existem outras variações, como “o profeta que foi condenado à morte tem a profecia feita pelo rei e muda o método de execução, dependendo de ter sido cumprido ou não”.

No episódio 13 “Riso Canguru” do drama “Nisaburo Furuhata”, um leão apareceu na frente do aventureiro e fez a mesma pergunta que o crocodilo acima, e apareceu como uma história no bar.

Espanha do romance “Don Quixote in”, consulta, como a seguir ao original Sancho Panza, vem em microcomputador. “Para atravessar a ponte, você deve relatar seu objetivo e, se for uma mentira, será enforcado. Um homem diz: “Eu sou enforcado. Eu vim para ser. ”

Sancho Panza, por outro lado, diz que deveria passar. A lógica é que “sempre me disseram pelo meu marido que eu deveria ser misericordioso em caso de dúvida”.

Redação
O crocodilo pegou seu filho da mulher egípcia que estava na margem do rio. O crocodilo devolveu a criança ao pedido, tendo derramado, como sempre, uma lágrima de crocodilo, respondeu:

“Seu infortúnio me comoveu, e eu lhe darei uma chance de recuperar seu filho.” Acho que vou dar a você ou não. Se você responder corretamente, retornarei a criança. Se você não adivinhar, não vou desistir.

Pensando, a mãe respondeu:

“Você não vai me dar o bebê.”

“Você não vai entender”, concluiu o crocodilo. “Você disse a verdade ou a mentira.” Se o fato de não desistir da criança for verdadeiro, não a devolverei, porque, caso contrário, não será verdade. Se o que foi dito não for verdade, então você não adivinhou, e eu não desistirei da criança de acordo.

No entanto, a mãe não achou esse raciocínio convincente:

“Mas se eu disser a verdade, você me dará a criança, como combinamos.” Se eu não achasse que você não iria desistir da criança, deveria me dar, caso contrário, o que eu disse não seria falso.

Quem está certo: mãe ou crocodilo? O que o crocodilo lhes promete? Dar a criança ou, inversamente, não a dar? E para isso e para outro ao mesmo tempo. Essa promessa é internamente contraditória e, portanto, impossível de cumprir em virtude das leis da lógica.

Outra redação
O missionário se viu nos canibais e chegou bem a tempo do jantar. Eles permitem que ele escolha de que forma ele será comido. Para fazer isso, ele deve pronunciar uma afirmação com a condição de que, se for verdadeira, eles a soldarão e, se for falsa, será frita.

O que deve ser dito ao missionário?

Ele deve dizer: “Você vai me fritar.” Se estiver realmente frito, acontece que ele expressou a verdade e, portanto, deve ser cozida. Se estiver cozido, sua afirmação será falsa e deve ser frita. Os canibais não terão escolha: de “fritar” segue-se “cozinhar” e vice-versa.

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Paradoxo de Berry

O paradoxo de Berry é um paradoxo autorreferencial que surge de uma expressão como “O menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras” (uma frase com cinquenta e sete letras). Bertrand Russell, o primeiro a discutir o paradoxo impresso, atribuiu-o a GG Berry (1867-1928), um bibliotecário júnior da biblioteca Bodleian de Oxford.

Visão geral
Considere a expressão:
“O menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras.”

Como existem apenas 26 letras no alfabeto inglês, existem finitas frases com menos de sessenta letras e, portanto, finitamente muitos números inteiros positivos que são definidos por frases com menos de sessenta letras. Como existem infinitos números inteiros positivos, isso significa que existem números inteiros positivos que não podem ser definidos por frases com menos de sessenta letras. Se houver números inteiros positivos que satisfaçam uma determinada propriedade, haverá um número inteiro positivo menor que satisfaça essa propriedade; portanto, há um menor número inteiro positivo que satisfaça a propriedade “não definível em menos de sessenta letras”. Este é o número inteiro ao qual a expressão acima se refere. Mas a expressão acima tem apenas cinquenta e sete letras, portanto é definível em menos de sessenta letras e não é o menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras e não é definida por essa expressão. Isso é um paradoxo: deve haver um número inteiro definido por essa expressão, mas, como a expressão é autocontraditória (qualquer número inteiro que ela define pode ser definido em menos de sessenta letras), não pode haver nenhum número inteiro definido por ela.

Talvez outra analogia útil ao paradoxo de Berry seja a frase “sentimento indescritível”. Se o sentimento é realmente indescritível, então nenhuma descrição do sentimento seria verdadeira. Mas se a palavra “indescritível” comunica algo sobre o sentimento, pode ser considerada uma descrição: isso é autocontraditório.

O matemático e cientista da computação Gregory J. Chaitin em The Unknowable (1999) acrescenta este comentário: “Bem, o historiador matemático mexicano Alejandro Garcidiego se deu ao trabalho de encontrar a carta [de Berry da qual Russell escreveu suas observações], e é bastante um paradoxo diferente. A carta de Berry fala sobre o primeiro ordinal que não pode ser nomeado em um número finito de palavras. De acordo com a teoria de Cantor, esse ordinal deve existir, mas acabamos de nomeá-lo em um número finito de palavras, o que é uma contradição. ”

Explicações
Os números naturais podem ser descritos por declarações (em francês) como: “dez potência cem” ou “o maior número primo conhecido no século XX”. O conjunto de “números naturais inteiros descritíveis por uma expressão de quinze palavras ou menos” é, portanto, finito; Portanto, é provável que existam muitos números inteiros fora deste conjunto. O menor deles é, portanto, “o menor número inteiro natural que não pode ser descrito por uma expressão de quinze palavras ou menos”. Mas precisamente, essa afirmação que a descreve perfeitamente, contém apenas quinze palavras.

Também poderíamos sugerir a criação de novas palavras, mas elas não são infinitas se colocarmos um limite no número de letras: seria suficiente reescrever a redação com um limite de letras e não de palavras para contornar esse argumento.

Esse paradoxo está muito próximo do paradoxo de Richard (às vezes também sob esse nome), do qual pode ser considerado uma variante finita. Poincaré, que queria ver a razão dos paradoxos lógicos em uma manipulação insegura do infinito, disse, sobre o paradoxo de Berry que usa precisamente apenas noções finitas: “eles tendiam a armadilha onde se divertiam caindo, e até eles tiveram que tomar muito cuidado para não cair ao lado da armadilha ”.

Também podemos considerar que envolve o mesmo tipo de perguntas que certas formas do paradoxo do mentiroso (a frase que diz por si mesma que é falsa). Geralmente, isso é resolvido formalizando a linguagem, aqui o que torna possível descrever os números inteiros e distinguindo-a da metalinguagem na qual a sentença de Berry é declarada, que não é mais paradoxal (veja também o artigo sobre o paradoxo de Richard, bem como a tradução desse paradoxo [ref. necessário] na forma de prova de que a complexidade de Kolmogorov não é calculável).

Resolução
O paradoxo de Berry, conforme formulado acima, surge por causa da ambiguidade sistemática da palavra “definível”. Em outras formulações do paradoxo de Berry, como uma que diz: “… não nomeado em menos …” o termo “nomeado” também é aquele que tem essa ambiguidade sistemática. Termos desse tipo dão origem a falácias violentas do círculo. Outros termos com esse tipo de ambiguidade são: satisfatória, verdadeira, falsa, função, propriedade, classe, relação, cardeal e ordinal. Resolver um desses paradoxos significa identificar exatamente onde nosso uso da linguagem deu errado e fornecer restrições ao uso da linguagem que possa evitá-los.

Essa família de paradoxos pode ser resolvida incorporando estratificações de significado na linguagem. Termos com ambiguidade sistemática podem ser escritos com subscritos que indicam que um nível de significado é considerado uma prioridade mais alta que outro em sua interpretação. “O número não nomeado0 em menos de onze palavras” pode ser nomeado1 em menos de onze palavras neste esquema.

Análogos formais
Usando programas ou provas de comprimentos limitados, é possível construir um análogo da expressão Berry em uma linguagem matemática formal, como foi feito por Gregory Chaitin. Embora o análogo formal não conduza a uma contradição lógica, prova alguns resultados impossíveis.

George Boolos (1989) construiu uma versão formalizada do paradoxo de Berry para provar o Teorema da Incompletude de Gödel de uma maneira nova e muito mais simples. A idéia básica de sua prova é que uma proposição que contém x se e somente se x = n para algum número natural n pode ser chamada de definição para n, e que o conjunto {(n, k): n tem uma definição que pode ser mostrado que é representável (usando números de Gödel). Então a proposição “m é o primeiro número não definível em menos de k símbolos” pode ser formalizada e mostrada como sendo uma definição no sentido que acabamos de declarar.

Relacionamento com a complexidade de Kolmogorov
Em geral, não é possível definir inequivocamente qual é o número mínimo de símbolos necessário para descrever uma determinada sequência (dado um mecanismo de descrição específico). Nesse contexto, os termos sequência e número podem ser usados ​​de forma intercambiável, uma vez que um número é realmente uma sequência de símbolos, por exemplo, uma palavra em inglês (como a palavra “onze” usada no paradoxo) enquanto, por outro lado, é possível para se referir a qualquer palavra com um número, por exemplo, pelo número de sua posição em um determinado dicionário ou por uma codificação adequada. Algumas seqüências longas podem ser descritas exatamente usando menos símbolos do que os exigidos por sua representação completa, como geralmente é obtido com a compactação de dados. A complexidade de uma determinada string é então definida como o comprimento mínimo que uma descrição requer para se referir (sem ambiguidade) à representação completa dessa string.

A complexidade de Kolmogorov é definida usando linguagens formais, ou máquinas de Turing, que evitam ambiguidades sobre qual sequência resulta de uma determinada descrição. Pode-se provar que a complexidade de Kolmogorov não é computável. A prova por contradição mostra que, se fosse possível calcular a complexidade de Kolmogorov, também seria possível gerar sistematicamente paradoxos semelhantes a este, ou seja, descrições mais curtas do que implica a complexidade da cadeia descrita. Ou seja, a definição do número de Berry é paradoxal porque, na verdade, não é possível calcular quantas palavras são necessárias para definir um número, e sabemos que esse cálculo não é possível devido ao paradoxo.

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Paradoxo de Bhartrhari

Paradoxo de Bhartrhari: A tese de que algumas coisas são inomináveis ​​entra em conflito com a noção de que algo é nomeado ao chamá-lo de inominável.

Bhartṛhari é um escritor sânscrito a quem normalmente são atribuídos dois textos sânscritos influentes:

o Vākyapadīya, na gramática sânscrita e na filosofia linguística, um texto fundamental na tradição gramatical indiana, explicando numerosas teorias sobre a palavra e a frase, incluindo teorias que passaram a ser conhecidas sob o nome de Sphoṭa; neste trabalho, Bhartrhari também discutiu problemas lógicos, como o paradoxo do mentiroso e um paradoxo de inominabilidade ou insignificabilidade que ficou conhecido como paradoxo de Bhartrhari, e
o Śatakatraya, uma obra de poesia sânscrita, composta por três coleções de cerca de 100 estrofes cada; pode ou não ser do mesmo autor que compôs as duas obras gramaticais mencionadas.
Na tradição medieval da erudição indiana, supunha-se que os dois textos fossem escritos pela mesma pessoa. Os filólogos modernos eram céticos em relação a essa afirmação, devido a um argumento que datava a gramática para uma data posterior à poesia. Desde a década de 1990, no entanto, os estudiosos concordam que os dois trabalhos podem realmente ter sido contemporâneos; nesse caso, é plausível que houvesse apenas um Bhartrihari que escrevesse os dois textos.

Tanto a gramática quanto as obras poéticas tiveram uma enorme influência em seus respectivos campos. A gramática, em particular, adota uma visão holística da linguagem, contrariando a posição de composicionalidade dos Mimamsakas e outros.

A poesia constitui versos curtos, reunidos em três séculos com cerca de cem poemas cada. Cada século lida com um rasa ou humor estético diferente; de maneira geral, sua obra poética tem sido muito respeitada tanto na tradição quanto nos estudos modernos.

O nome Bhartrihari também é associado às vezes a Bhartrihari traya Shataka, o lendário rei de Ujjaini no século I.

Data e identidade
O relato do viajante chinês Yi-Jing indica que a gramática de Bhartrihari era conhecida em 670 EC e que ele talvez fosse budista, o que o poeta não era. Com base nisso, a opinião acadêmica havia anteriormente atribuído a gramática a um autor separado com o mesmo nome desde o século VII dC. No entanto, outras evidências indicam uma data muito anterior:

Acredita-se que Bhartrihari tenha vivido no século VII dC, mas de acordo com o testemunho do peregrino chinês Yijing, ele era conhecido pelo filósofo budista Dignaga, e isso levou sua data para o quinto século dC.

Um período de c. 450–500 “definitivamente não depois de 425–450”, ou, seguindo Erich Frauwallner, 450–510 ou talvez 400 CE ou até mais cedo.

A outra afirmação de Yi-Jing, de que Bhartrihari era budista, parece não se sustentar; sua posição filosófica é amplamente considerada uma ramificação da escola Vyakaran ou gramática, intimamente aliada ao realismo dos Naiyayikas e nitidamente oposta a posições budistas como Dignaga, que estão mais próximas do fenomenalismo. Também se opõe a outros mImAMsakas como Kumarila Bhatta. No entanto, algumas de suas idéias posteriormente influenciaram algumas escolas budistas, o que pode ter levado Yi-Jing a supor que ele poderia ter sido budista.

Assim, no geral, parece provável que a visão tradicional sânscrita, de que o poeta do Śatakatraya seja o mesmo do gramático Bhartṛhari, possa ser aceito.

O principal estudioso sânscrito Ingalls (1968) afirmou que “não vejo razão para que ele não deva ter escrito poemas, além de gramática e metafísica”, como Dharmakirti, Shankaracharya e muitos outros. O próprio Yi Jing parecia pensar que eles eram a mesma pessoa, ao escrever que (o gramático) Bhartṛhari, autor do Vakyapadiya, era conhecido por sua vacilação entre o monge budista e uma vida de prazer e por ter escrito versos sobre o assunto.

Vākyapadīya
As visões de Bhartrihari sobre a linguagem se baseiam nas de gramáticos anteriores, como Patanjali, mas eram bastante radicais. Um elemento chave de sua concepção da linguagem é a noção de sphoṭa – um termo que pode ser baseado em um gramático antigo, Sphoṭāyana, referido por Pāṇini, agora perdido.

Em seu Mahabhashya, Patanjali (século II aC) usa o termo sphoṭa para denotar o som da linguagem, o universal, enquanto o som real (dhvani) pode ser longo ou curto, ou variar de outras maneiras. Pode-se pensar que essa distinção seja semelhante à da noção atual de fonema. Bhatrihari, no entanto, aplica o termo sphota a cada elemento da expressão, var ,a a letra ou sílaba, pada a palavra e vākya a sentença. Para criar o invariável lingüístico, ele argumenta que eles devem ser tratados como conjuntos separados (varṇasphoṭa, padasphoṭa e vākyasphoṭa, respectivamente). Por exemplo, o mesmo som de fala ou varṇa pode ter propriedades diferentes em diferentes contextos de palavras (por exemplo, assimilação), de modo que o som não possa ser discernido até que toda a palavra seja ouvida.
Além disso, Bhartrihari defende uma visão holística do significado da sentença, dizendo que o significado de um enunciado é conhecido somente depois que a sentença inteira (vākyasphoṭa) foi recebida e não é composta pelos elementos atômicos individuais ou pelas unidades linguísticas que podem mudar sua interpretação baseada em elementos posteriores no enunciado. Além disso, as palavras são entendidas apenas no contexto da sentença cujo significado como um todo é conhecido. Seu argumento para isso foi baseado na aquisição da linguagem, por exemplo, considere uma criança observando a troca abaixo:

adulto mais velho (uttama-vṛddha “adulto”): diz “traga o cavalo”
adulto mais jovem (madhyama-vṛddha “semi-adulto”): reage trazendo o cavalo

A criança que observa isso agora pode aprender que a unidade “cavalo” se refere ao animal. A menos que a criança soubesse que a frase significa a priori, seria difícil deduzir o significado de novas palavras. Assim, apreendemos o significado da sentença como um todo e alcançamos as palavras como partes da sentença, e os significados das palavras como partes da sentença por meio de “análise, síntese e abstração” (apoddhāra).

A teoria sphoṭa foi influente, mas foi contestada por muitas outras. Mais tarde, Mimamsakas como Kumarila Bhatta (c. 650 dC) rejeitaram fortemente a visão vākyasphoṭa e argumentaram pelo poder denotativo de cada palavra, argumentando pela composição de significados (abhihitānvaya). A escola Prabhakara (c. 670) entre Mimamsakas, no entanto, assumiu uma posição menos atomística, argumentando que os significados das palavras existem, mas são determinados pelo contexto (anvitābhidhāna).

Em uma seção do capítulo sobre Relação, Bhartrhari discute o paradoxo do mentiroso e identifica um parâmetro oculto que transforma uma situação sem problemas na vida cotidiana em um paradoxo teimoso. Além disso, Bhartrhari discute aqui um paradoxo que foi chamado de “paradoxo de Bhartrhari” por Hans e Radhika Herzberger. Este paradoxo surge da afirmação “isto é inominável” ou “isto é insignificável”.

O Mahābhāṣya-dīpikā (também Mahābhāṣya-ṭīkā) é um subcomentário inicial do Vyākaraṇa-Mahābhāṣya de Patanjali, também atribuído a Bhartṛhari.

Śatakatraya
A poesia de Bhartrihari é aforística e comenta os costumes sociais da época. O trabalho coletado é conhecido como Śatakatraya “os três śatakas ou ‘centenas’ (‘séculos’)”, consistindo de três compilações temáticas sobre shringara, vairagya e niti (vagamente: amor, desapego e conduta moral) de cem versos cada.

Infelizmente, as versões manuscritas existentes desses shatakas variam muito nos versículos incluídos. DD Kosambi identificou um kernel de duzentos que é comum a todas as versões.

Aqui está um exemplo que comenta os costumes sociais:
Um homem rico é considerado nascido
Sábio acadêmico e exigente
Eloquente e até bonito –
Todas as virtudes são acessórios para o ouro!

E aqui está um que lida com o tema do amor:

A chama clara e brilhante do discernimento de um homem morre
Quando uma garota nubla-o com seus olhos negros. [Bhartrihari # 77, tr. John Brough; poema 167]

Paradoxo de Bhartrhari
O paradoxo de Bhartrhari é o título de um artigo de 1981 de Hans e Radhika Herzberger que chamou a atenção para a discussão de paradoxos auto-referenciais no trabalho que Vākyapadīya atribuiu a Bhartṛhari, um gramático indiano do século V.

No capítulo que trata das relações lógicas e linguísticas, o Sambandha-samuddeśa, Bhartrhari discute várias declarações de natureza paradoxal, incluindo sarvam mithyā bravīmi “tudo o que estou dizendo é falso”, que pertence à família dos mentirosos, bem como o paradoxo que surge da afirmação de que algo é inominável ou insignificável (em sânscrito: avācya): isso se torna nominável ou significável precisamente chamando-o de inominável ou insignificável. Quando aplicado a números inteiros, o último é conhecido hoje como paradoxo de Berry.

O interesse de Bhartrhari não reside em fortalecer esse e outros paradoxos abstraindo-os do contexto pragmático, mas em explorar como um paradoxo teimoso pode surgir de situações sem problemas na comunicação diária.

Uma situação sem problemas de comunicação é transformada em paradoxo – temos contradição (virodha) ou regressão infinita (anavasthā) – quando a abstração é feita a partir da significação e sua extensão no tempo, aceitando uma função simultânea e oposta (apara vyāpāra) o anterior.

Para Bhartrhari, é importante analisar e resolver o paradoxo da insignificabilidade, porque ele afirma que o que não pode ser significado pode, no entanto, ser indicado (vyapadiśyate) e pode ser entendido (pratīyate) que existe.