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Paradoxos

Paradoxo da barbearia

O paradoxo da barbearia foi proposto por Lewis Carroll em um ensaio de três páginas intitulado “Um Paradoxo Lógico”, publicado na edição de julho de 1894 da Mind. O nome vem do conto “ornamental” que Carroll usa no artigo para ilustrar o paradoxo. Existia anteriormente em várias formas alternativas em sua escrita e correspondência, nem sempre envolvendo uma barbearia. Carroll descreveu isso como ilustrando “uma dificuldade muito real na teoria da hipotética”. Do ponto de vista da lógica moderna, ela é vista não apenas como um paradoxo, mas como um simples erro lógico. É de interesse agora principalmente como um episódio no desenvolvimento de métodos lógicos algébricos, quando estes não eram tão amplamente compreendidos (mesmo entre lógicos), embora o problema continue sendo discutido em relação às teorias de implicação e lógica modal.

O paradoxo
Na história, tio Joe e tio Jim estão caminhando para a barbearia. Eles explicam que existem três barbeiros que moram e trabalham na loja – Allen, Brown e Carr – e alguns ou todos podem estar lá. Recebemos duas informações para tirar conclusões. Primeiro, a loja está definitivamente aberta, então pelo menos um dos barbeiros deve entrar. Segundo, diz-se que Allen está muito nervoso, para que ele nunca saia da loja, a menos que Brown vá com ele.

Agora, de acordo com o tio Jim, Carr é um barbeiro muito bom, e ele quer saber se Carr estará lá para fazer a barba. O tio Joe insiste que Carr certamente estará presente e afirma que ele pode provar isso logicamente. Tio Jim exige essa prova.

O tio Joe apresenta seu argumento da seguinte maneira:

Suponha que Carr esteja fora. Mostraremos que essa suposição produz uma contradição. Se Carr está fora, então sabemos disso: “Se Allen está fora, então Brown está dentro”, porque deve haver alguém para “cuidar da loja”. Mas também sabemos que, sempre que Allen sai, ele leva Brown com ele, como regra geral: “Se Allen está fora, Brown está fora”. As duas afirmações a que chegamos são incompatíveis, porque se Allen está fora, Brown não pode estar tanto em (de acordo com uma) como em de fora (de acordo com a outra). Existe uma contradição. Portanto, devemos abandonar nossa hipótese de que Carr está fora e concluir que Carr deve estar dentro.

A resposta do tio Jim é que essa conclusão não se justifica. A conclusão correta a ser tirada da incompatibilidade dos dois “hipotéticos” é que o que é hipotetizado neles (que Allen está fora) deve ser falso sob nossa suposição de que Carr está fora. Então nossa lógica simplesmente nos permite chegar à conclusão “Se Carr está fora, Allen deve estar necessariamente dentro”.

A disputa histórica
O paradoxo surgiu de uma discordância entre Carroll e seu colega de Oxford, professor de lógica Wykeham, John Cook Wilson, cujos dois tinham um antagonismo de longa data. O problema também foi discutido por outros com quem Carroll se correspondia e foi abordado em artigos posteriores publicados por John Venn, Alfred Sidgwick e Bertrand Russell, entre outros. A visão de Cook Wilson é representada na história pelo personagem do tio Joe, que tenta provar que Carr sempre deve permanecer na loja. Outros adotaram a mesma opinião quando Carroll divulgou suas versões impressas do problema em particular. Como Carroll observou: “Estou em correspondência com cerca de uma dúzia de lógicos sobre esse ponto curioso; e até agora, as opiniões parecem igualmente divididas quanto à liberdade de C. ”: 445-448

Simplificação

Notação
Ao ler o original, pode ser útil lembrar o seguinte:

O que Carroll chamou de “hipotéticos” lógicos modernos chamam de “condicionais lógicos”.
Tio Joe conclui sua prova reductio ad absurdum, que significa em inglês “prova por contradição”.
O que Carroll chama de protasis de uma condicional é agora conhecido como antecedente e, da mesma forma, a apodose é agora chamada de conseqüente.
Os símbolos podem ser usados ​​para simplificar bastante declarações lógicas, como as inerentes a esta história:

Nome do operador) Coloquial Simbólico
Negação NÃO não X ¬ ¬X
Conjunção E X e Y X ∧ Y
Disjunção OU X ou Y X ∨ Y
Condicional SE ENTÃO se X então Y X ⇒ Y

Nota: X ⇒ Y (também conhecido como “Implicação”) pode ser lido de várias maneiras em inglês, de “X é suficiente para Y” a “Y segue de X”. (Veja também Tabela de símbolos matemáticos.)

Correção
Para ajudar a reafirmar a história de Carroll de maneira mais simples, tomaremos as seguintes declarações atômicas:

A = Allen está na loja
B = Marrom está em
C = Carr está em
Então, por exemplo (¬A ∧ B) representa “Allen está fora e Brown está dentro”

Tio Jim nos dá nossos dois axiomas:

Há pelo menos um barbeiro na loja agora (A ∨ B ∨ C)
Allen nunca sai da loja sem Brown (¬A ⇒ ¬B)
Tio Joe apresenta uma prova:

Inglês abreviado com marcadores lógicos Principalmente simbólico
Suponha que Carr NÃO esteja presente. H0: ¬C
Dado NÃO C, SE Allen NÃO estiver ENTÃO, Brown deve estar dentro, para satisfazer o Axioma 1 (A1). Por H0 e A1, ¬A ⇒ B
Mas o Axiom 2 (A2) afirma que é universalmente verdade que IF Allen
não está em ENTÃO Brown não está em (é sempre verdade que se ¬A então ¬B)
Por A2, ¬A ⇒ ¬B
Até agora, temos que NOT C produz ambos (não A THEN B) e (not A THEN B). Assim ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))
O tio Joe alega que isso é contraditório.
Portanto, Carr deve estar dentro ∴C

O tio Joe basicamente argumenta que (¬A ⇒ B) e (¬A ⇒ ¬B) são contraditórios, dizendo que o mesmo antecedente não pode resultar em dois consequentes diferentes.

Essa suposta contradição é o cerne da “prova” de Joe. Carroll apresenta esse resultado que desafia a intuição como um paradoxo, esperando que a ambiguidade contemporânea seja resolvida.

Discussão
Na teoria lógica moderna, esse cenário não é um paradoxo. A lei da implicação reconcilia o que o tio Joe afirma ser hipotético incompatível. Esta lei afirma que “se X então Y” é logicamente idêntico a “X é falso ou Y é verdadeiro” (¬X ∨ Y). Por exemplo, dada a afirmação “se você pressionar o botão, a luz acenderá”, deve ser verdade a qualquer momento que você não pressionou o botão ou a luz está acesa.

Em resumo, o que obtém não é que ¬C produz uma contradição, apenas que ele precisa de A, porque isA é o que realmente produz a contradição.

Nesse cenário, isso significa que Carr não precisa entrar, mas que, se não estiver, Allen precisará entrar.

Simplificando para Axiom 1
A aplicação da lei da implicação às condicionais ofensivas mostra que, em vez de se contradizerem, simplesmente reitera o fato de que, como a loja está aberta, um ou mais de Allen, Brown ou Carr estão e o outro coloca muito pouca restrição sobre quem pode ou não estar na loja.

Para ver isso, atacemos o grande resultado “contraditório” de Jim, principalmente aplicando a lei da implicação repetidamente. Primeiro, vamos dividir um dos dois condicionais infratores:

“Se Allen está fora, então Brown está fora”
“Allen está dentro ou Brown está fora”
(¬A ⇒ ¬B)
(A ¬ ¬B)

Substituindo isso em

“Se Carr está fora, ENTÃO, se Allen também estiver fora, então Brown estará dentro E se Allen estiver fora, então Brown estará fora.”
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))

O que produz, com a aplicação contínua da lei de implicação,

“Se Carr está fora, ENTÃO, se Allen também estiver fora, Brown está dentro E Allen está dentro OU Brown está fora.”
“Se Carr saiu, ENTÃO as duas coisas são verdadeiras: Allen está dentro OU Brown está dentro E Allen está dentro OU Brown está fora.”
“Carr está em OR ou ambos são verdadeiros: Allen está em OU Brown está em E Allen está em OU Brown está fora.”
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (A ∨ ¬B))
¬C ⇒ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B))
C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B))
observe que: C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) pode ser simplificado para C ∨ A
uma vez que ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) é simplesmente A

E finalmente, (à direita, estamos distribuindo entre parênteses)

“Carr está em OU Allen está em OR Brown está em, e Carr está em OU Allen está em OU Brown está fora.”
“Inclusive, Carr está em OU Allen está em OU Brown está em E Inclusive, Carr está em OU Allen está em OU Brown está fora.”
C ∨ (A ∨ B) ∧ C ∨ (A ∨ ¬B)
(C ∨ A ∨ B) ∧ (C ∨ A ∨ ¬B)

Portanto, as duas afirmações que se tornam verdadeiras ao mesmo tempo são: “Um ou mais de Allen, Brown ou Carr estão dentro”, que é simplesmente o Axioma 1, e “Carr está dentro ou Allen está dentro ou Brown está fora”. Claramente, uma das maneiras pelas quais essas duas afirmações podem se tornar verdadeiras ao mesmo tempo é no caso em que Allen está (porque a casa de Allen é a barbearia e em algum momento Brown deixou a loja).

Outra maneira de descrever como (X Y Y) ⇔ (¬X ∨ Y) resolve isso em um conjunto válido de instruções é reformular a declaração de Jim de que “Se Allen também está fora…” em “Se Carr está fora e Allen está fora, então Brown está em ”((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).

Mostrando condicionais compatíveis
Os dois condicionais não são opostos lógicos: para provar por contradição, Jim precisava mostrar ¬C ⇒ (Z ¬ Z), onde Z passa a ser uma condicional.

O oposto de (A ⇒ B) é ¬ (A ⇒ B), que, usando a Lei de De Morgan, resolve para (A ¬ ¬ B), que não é a mesma coisa que (¬A ∨ ¬B), que é o que A ⇒ B reduz para.

Essa confusão sobre a “compatibilidade” desses dois condicionais foi prevista por Carroll, que inclui uma menção a isso no final da história. Ele tenta esclarecer a questão argumentando que a protase e a apodose da implicação “Se Carr está em …” estão “incorretamente divididas”. No entanto, a aplicação da Lei da Implicação remove completamente o “Se …” (reduzindo as disjunções); portanto, não existem protases e apodoses e não é necessário um contra-argumento.