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Paradoxo de Grelling-Nelson

O paradoxo de Grelling-Nelson é uma antinomia, ou um paradoxo auto-referencial semântico, referente à aplicabilidade a si própria da palavra “heterológico”, que significa “inaplicável a si próprio”. Foi formulado em 1908 por Kurt Grelling e Leonard Nelson, e às vezes é erroneamente atribuído ao filósofo e matemático alemão Hermann Weyl. É, assim, ocasionalmente chamado de paradoxo de Weyl e paradoxo de Grelling. Está intimamente relacionado a vários outros paradoxos conhecidos, em particular, o paradoxo do barbeiro e o paradoxo de Russell.

O paradoxo
Suponha que se interprete os adjetivos “autológico” e “heterológico” da seguinte maneira:

Um adjetivo é autológico (às vezes homológico) se se descreve. Por exemplo, a palavra em inglês “inglês” é autológica, assim como “sem hífen” e “pentassilábico”.
Um adjetivo é heterológico se não se descreve. Portanto, “longo” é uma palavra heterológica (porque não é uma palavra longa), como são “hifenizados” e “monossilábicos”.

Todos os adjetivos, ao que parece, devem ser autológicos ou heterológicos, pois cada adjetivo se descreve ou não. Problemas surgem em vários casos, no entanto.

Descrição
Grelling e Nelson, ao formar sua antinomia, assumem que cada classe é definida por uma característica que denota uma palavra. Por exemplo, a palavra “monossilábico” denota o recurso da classe de todas as palavras monossilábicas. Em seguida, você divide as palavras em duas classes, definidas da seguinte maneira:

Uma palavra autológica em si tem a característica que designa, mas uma palavra heteróloga não. As palavras “alemão” ou “três sílabas” são autológicas, porque “alemão” é uma palavra alemã e “três sílabas” é uma palavra de três sílabas. No entanto, a maioria das palavras é heterológica, por exemplo, “inglês” e “monossilábico”, porque “inglês” não é uma palavra em inglês e “monossilábico” não é uma palavra monossilábica.

Parece que cada palavra pode ser classificada em uma dessas duas classes sem contradição, mas surgem problemas quando você olha mais de perto.

Casos paradoxais
O paradoxo de Grelling-Nelson surge quando consideramos o adjetivo “heterológico”. Pode-se perguntar: “heterológico” é uma palavra heterológica? Se a resposta for “não”, então “heterológico” é autológico. Isso leva a uma contradição, pois nesse caso “heterológico” não se descreve: deve ser uma palavra heterológica. Mas se a resposta for “sim”, então “heterológico” é heterológico. Isso novamente leva a uma contradição, porque se a palavra “heterológico” se descreve, é autológica.

“Heterológico” é uma palavra heterológica?
não → “heterológico” é autológico → “heterológico” se descreve → “heterológico” é heterológico, contradição
sim → “heterológico” é heterológico → “heterológico” não se descreve → “heterológico” não é heterológico, contradição

O paradoxo pode ser eliminado, sem alterar o significado de “heterológico”, onde era previamente bem definido, modificando ligeiramente a definição de “heterológico” para conter todas as palavras não-autológicas, exceto “heterológico”. Mas “não-autológico” está sujeito ao mesmo paradoxo, para o qual essa evasão não é aplicável porque as regras do inglês determinam exclusivamente seu significado do significado de “autológico”. Uma leve modificação semelhante à definição de “autológico” (como declarar falso de “não-autológico” e seus sinônimos) pode parecer corrigir isso, mas o paradoxo ainda permanece para sinônimos de “autológico” e “heterológico”, como “auto-descritivo” ”E“ não-descritivo ”, cujos significados também precisariam ser ajustados, e as conseqüências desses ajustes precisariam ser perseguidos e assim por diante. Libertar o inglês do paradoxo de Grelling-Nelson implica consideravelmente mais modificações na linguagem do que meros refinamentos nas definições de “autológico” e “heterológico”, que nem precisam estar no idioma para o paradoxo surgir. O escopo desses obstáculos para o inglês é comparável ao do paradoxo de Russell para a matemática fundada em conjuntos.

Casos arbitrários
Pode-se também perguntar se “autológico” é autológico. Pode ser escolhido consistentemente para ser:

se dizemos que “autológico” é autológico e depois perguntamos se ele se aplica a si mesmo, então sim, se aplica e, portanto, é autológico;
se dizemos que “autológico” não é autológico e depois perguntamos se ele se aplica a si mesmo, então não, não se aplica e, portanto, não é autológico.

Este é o oposto da situação para a heterologia: enquanto “heterológico” logicamente não pode ser autológico ou heterológico, “autológico” também pode ser. (Não pode ser ambos, pois a categoria de autológico e heterológico não pode se sobrepor.)

Em termos lógicos, a situação para “autológico” é:

“Autológico” é autológico se e somente se “autológico” for autológico
A se e somente se A, uma tautologia

enquanto a situação para “heterológico” é:

“Heterológico” é heterológico se e somente se “heterológico” for autológico
A se e somente se não A, uma contradição.

Casos ambíguos
Pode-se também perguntar se “alto” é autológico ou heterológico. Se dito em voz alta, “alto” é autológico; caso contrário, é heterológico. Isso mostra que alguns adjetivos não podem ser inequivocamente classificados como autológicos ou heterológicos. Newhard procurou eliminar esse problema, levando o Paradox de Grelling a lidar especificamente com os tipos de palavras, em oposição aos tokens de palavras.

Soluções
Na antinomia, Grelling e Nelson transferiram a antinomia de Russell para o nível do idioma, atribuindo um nome a cada classe por meio de uma função única reversível; a classe russeliana corresponde à classe de palavras heterológicas{\ displaystyle H = \ {\ varphi (x) \ mid \ varphi (x) \ notin x \}}, de modo a\ varphi (H)denota a palavra “heterológico”. Portanto, a solução da antinomia de Grelling-Nelson é completamente paralela à solução da antinomia de Russell: pode-se provar que a classe\, H, Hof, todas as palavras heterológicas não são um conjunto, mas uma chamada classe real.

A antinomia de Grelling-Nelson tem, portanto, a seguinte consequência lógica: a dada bijeção\ varphi, que especifica o nome de uma classe de palavras, não pode ser implementado logicamente. Com um conjunto de palavras acima de um alfabeto que descreve todos os idiomas comuns, uma função lógica interna que dá nome a todas as classes não pode ser formada; aqui as classes reais permanecem sem nome, porque não podem ser argumentos em funções. Isso significa que os requisitos de idioma para a antinomia não são atendidos. É, portanto, um dos chamados paradoxos semânticos, nos quais uma situação metalingüística é inadmissivelmente atraída para o nível da linguagem lógica. A nomeação de qualquer classe\ varphié correto apenas como uma função de metalinguagem que afeta a formação da fórmula. Mas se você {\ displaystyle \ varphi} \ varphi como Grelling-Nelson assume como uma função lógica analógica, não se pode provar que seja uma bijeção, porque a contradição mostra que esse pressuposto ingênuo está errado.

Ao resolver a teoria de tipo ramificado mais comum, a sintaxe é restrita, de modo que as instruções\ varphi (x) \ em xe\ varphi (x) \ notin xnão são mais sintaticamente corretos e as duas classes de palavras não podem mais ser formadas e definidas. As classes de palavras têm um tipo mais alto que seus elementos (palavras) e a função\ varphitipo ainda mais alto que as classes de palavras. Portanto, são valores de função\ varphi (x)não como elementos de\, x, xauthorized. Portanto, a teoria dos tipos tenta resolver os problemas introduzindo níveis de linguagem e, portanto, precisa de uma sintaxe complicada que limite severamente as possibilidades de linguagem. A formulação na lógica predicada do primeiro estágio, que, como a antinomia de Russell, é suficiente para resolver o problema, evita esse esforço e permite as referidas fórmulas; aqui as conclusões permitidas são suficientes para provar que os requisitos da antinomia de Grelling-Nelson são inconsistentes.

Semelhanças com o paradoxo de Russell
O paradoxo de Grelling-Nelson pode ser traduzido no famoso paradoxo de Bertrand Russell da seguinte maneira. Primeiro, é preciso identificar cada adjetivo com o conjunto de objetos aos quais esse adjetivo se aplica. Assim, por exemplo, o adjetivo “vermelho” é igualado ao conjunto de todos os objetos vermelhos. Dessa maneira, o adjetivo “pronunciável” é equiparado ao conjunto de todas as coisas pronunciáveis, uma das quais é a própria palavra “pronunciável”. Assim, uma palavra autológica é entendida como um conjunto, cujos elementos são o próprio conjunto. A questão de saber se a palavra “heterológico” é heterológica torna-se a questão de saber se o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm se contém como um elemento.

Importância para o entretenimento Linguística
Devido à sua raridade, encontrar palavras autológicas é um desafio, especialmente se palavras com negações como “incombustível” forem excluídas. Além de adjetivos, substantivos, verbos (“fim”, “conter”, “existir”), advérbios (inglês “polissilábicamente” multi-sílaba)) e outras palavras (“es”, “aqui”) são mencionados, nos quais existem duas definições para substantivos autológicos dão. Segundo uma definição, um substantivo é considerado autológico se descrever a característica que possui, segundo outro se descrever o que é. De acordo com a primeira definição, “quatro sílabas” (é quatro sílabas) e “antonimia” (é antônimo, ou seja, sinônimo) Exemplos de substantivos autológicos, após a segunda “três sílabas” (é uma sílaba) e ” Antônimo ”(é um antônimo). As palavras “haplogia” (para haplologia) e “oxímoro” foram formadas para serem autológicas de acordo com a segunda definição.

A palavra “Proparoxytonon” é autológica no sentido mais amplo (palavra enfatizada na penúltima sílaba, seja grega ou outra língua). “Neologismo” (criação de novas palavras) já foi uma palavra autológica, mas não é mais usada hoje. O “protologismo” (cunhado por Mikhail Epstein para sugerir novas palavras que ainda não são comuns e, portanto, ainda não alcançaram o status de neologismo) ainda é autológico, mas pode perder esse status. “Inacabado” está inacabado, mas não descreve corretamente essa propriedade e, portanto, não deve ser visto como uma palavra autóloga. “Citação” não é autológico, porque não é a palavra “citação” que é uma citação, mas a citação “” citação “”.