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Paradoxos

Paradoxo de Berry

O paradoxo de Berry é um paradoxo autorreferencial que surge de uma expressão como “O menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras” (uma frase com cinquenta e sete letras). Bertrand Russell, o primeiro a discutir o paradoxo impresso, atribuiu-o a GG Berry (1867-1928), um bibliotecário júnior da biblioteca Bodleian de Oxford.

Visão geral
Considere a expressão:
“O menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras.”

Como existem apenas 26 letras no alfabeto inglês, existem finitas frases com menos de sessenta letras e, portanto, finitamente muitos números inteiros positivos que são definidos por frases com menos de sessenta letras. Como existem infinitos números inteiros positivos, isso significa que existem números inteiros positivos que não podem ser definidos por frases com menos de sessenta letras. Se houver números inteiros positivos que satisfaçam uma determinada propriedade, haverá um número inteiro positivo menor que satisfaça essa propriedade; portanto, há um menor número inteiro positivo que satisfaça a propriedade “não definível em menos de sessenta letras”. Este é o número inteiro ao qual a expressão acima se refere. Mas a expressão acima tem apenas cinquenta e sete letras, portanto é definível em menos de sessenta letras e não é o menor número inteiro positivo não definível em menos de sessenta letras e não é definida por essa expressão. Isso é um paradoxo: deve haver um número inteiro definido por essa expressão, mas, como a expressão é autocontraditória (qualquer número inteiro que ela define pode ser definido em menos de sessenta letras), não pode haver nenhum número inteiro definido por ela.

Talvez outra analogia útil ao paradoxo de Berry seja a frase “sentimento indescritível”. Se o sentimento é realmente indescritível, então nenhuma descrição do sentimento seria verdadeira. Mas se a palavra “indescritível” comunica algo sobre o sentimento, pode ser considerada uma descrição: isso é autocontraditório.

O matemático e cientista da computação Gregory J. Chaitin em The Unknowable (1999) acrescenta este comentário: “Bem, o historiador matemático mexicano Alejandro Garcidiego se deu ao trabalho de encontrar a carta [de Berry da qual Russell escreveu suas observações], e é bastante um paradoxo diferente. A carta de Berry fala sobre o primeiro ordinal que não pode ser nomeado em um número finito de palavras. De acordo com a teoria de Cantor, esse ordinal deve existir, mas acabamos de nomeá-lo em um número finito de palavras, o que é uma contradição. ”

Explicações
Os números naturais podem ser descritos por declarações (em francês) como: “dez potência cem” ou “o maior número primo conhecido no século XX”. O conjunto de “números naturais inteiros descritíveis por uma expressão de quinze palavras ou menos” é, portanto, finito; Portanto, é provável que existam muitos números inteiros fora deste conjunto. O menor deles é, portanto, “o menor número inteiro natural que não pode ser descrito por uma expressão de quinze palavras ou menos”. Mas precisamente, essa afirmação que a descreve perfeitamente, contém apenas quinze palavras.

Também poderíamos sugerir a criação de novas palavras, mas elas não são infinitas se colocarmos um limite no número de letras: seria suficiente reescrever a redação com um limite de letras e não de palavras para contornar esse argumento.

Esse paradoxo está muito próximo do paradoxo de Richard (às vezes também sob esse nome), do qual pode ser considerado uma variante finita. Poincaré, que queria ver a razão dos paradoxos lógicos em uma manipulação insegura do infinito, disse, sobre o paradoxo de Berry que usa precisamente apenas noções finitas: “eles tendiam a armadilha onde se divertiam caindo, e até eles tiveram que tomar muito cuidado para não cair ao lado da armadilha ”.

Também podemos considerar que envolve o mesmo tipo de perguntas que certas formas do paradoxo do mentiroso (a frase que diz por si mesma que é falsa). Geralmente, isso é resolvido formalizando a linguagem, aqui o que torna possível descrever os números inteiros e distinguindo-a da metalinguagem na qual a sentença de Berry é declarada, que não é mais paradoxal (veja também o artigo sobre o paradoxo de Richard, bem como a tradução desse paradoxo [ref. necessário] na forma de prova de que a complexidade de Kolmogorov não é calculável).

Resolução
O paradoxo de Berry, conforme formulado acima, surge por causa da ambiguidade sistemática da palavra “definível”. Em outras formulações do paradoxo de Berry, como uma que diz: “… não nomeado em menos …” o termo “nomeado” também é aquele que tem essa ambiguidade sistemática. Termos desse tipo dão origem a falácias violentas do círculo. Outros termos com esse tipo de ambiguidade são: satisfatória, verdadeira, falsa, função, propriedade, classe, relação, cardeal e ordinal. Resolver um desses paradoxos significa identificar exatamente onde nosso uso da linguagem deu errado e fornecer restrições ao uso da linguagem que possa evitá-los.

Essa família de paradoxos pode ser resolvida incorporando estratificações de significado na linguagem. Termos com ambiguidade sistemática podem ser escritos com subscritos que indicam que um nível de significado é considerado uma prioridade mais alta que outro em sua interpretação. “O número não nomeado0 em menos de onze palavras” pode ser nomeado1 em menos de onze palavras neste esquema.

Análogos formais
Usando programas ou provas de comprimentos limitados, é possível construir um análogo da expressão Berry em uma linguagem matemática formal, como foi feito por Gregory Chaitin. Embora o análogo formal não conduza a uma contradição lógica, prova alguns resultados impossíveis.

George Boolos (1989) construiu uma versão formalizada do paradoxo de Berry para provar o Teorema da Incompletude de Gödel de uma maneira nova e muito mais simples. A idéia básica de sua prova é que uma proposição que contém x se e somente se x = n para algum número natural n pode ser chamada de definição para n, e que o conjunto {(n, k): n tem uma definição que pode ser mostrado que é representável (usando números de Gödel). Então a proposição “m é o primeiro número não definível em menos de k símbolos” pode ser formalizada e mostrada como sendo uma definição no sentido que acabamos de declarar.

Relacionamento com a complexidade de Kolmogorov
Em geral, não é possível definir inequivocamente qual é o número mínimo de símbolos necessário para descrever uma determinada sequência (dado um mecanismo de descrição específico). Nesse contexto, os termos sequência e número podem ser usados ​​de forma intercambiável, uma vez que um número é realmente uma sequência de símbolos, por exemplo, uma palavra em inglês (como a palavra “onze” usada no paradoxo) enquanto, por outro lado, é possível para se referir a qualquer palavra com um número, por exemplo, pelo número de sua posição em um determinado dicionário ou por uma codificação adequada. Algumas seqüências longas podem ser descritas exatamente usando menos símbolos do que os exigidos por sua representação completa, como geralmente é obtido com a compactação de dados. A complexidade de uma determinada string é então definida como o comprimento mínimo que uma descrição requer para se referir (sem ambiguidade) à representação completa dessa string.

A complexidade de Kolmogorov é definida usando linguagens formais, ou máquinas de Turing, que evitam ambiguidades sobre qual sequência resulta de uma determinada descrição. Pode-se provar que a complexidade de Kolmogorov não é computável. A prova por contradição mostra que, se fosse possível calcular a complexidade de Kolmogorov, também seria possível gerar sistematicamente paradoxos semelhantes a este, ou seja, descrições mais curtas do que implica a complexidade da cadeia descrita. Ou seja, a definição do número de Berry é paradoxal porque, na verdade, não é possível calcular quantas palavras são necessárias para definir um número, e sabemos que esse cálculo não é possível devido ao paradoxo.