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Paradoxo do barbeiro

O paradoxo do barbeiro é um quebra-cabeça derivado do paradoxo de Russell. Foi usado pelo próprio Bertrand Russell como uma ilustração do paradoxo, embora ele o atribua a uma pessoa sem nome que o sugeriu. O quebra-cabeça mostra que um cenário aparentemente plausível é logicamente impossível. Especificamente, descreve um barbeiro definido de tal maneira que ele se barbeia e não se barbeia.

Paradoxo
O barbeiro é “aquele que barbeia todos aqueles e somente aqueles que não se barbeiam”. A questão é: o barbeiro se barbeia?

Responder a essa pergunta resulta em uma contradição. O barbeiro não pode fazer a barba, pois só faz a barba daqueles que não fazem a barba. Assim, se ele se barbeia, deixa de ser o barbeiro. Por outro lado, se o barbeiro não se barbear, ele se encaixa no grupo de pessoas que seriam barbeadas pelo barbeiro e, portanto, como barbeiro, ele deve se barbear.

História
Esse paradoxo é frequentemente atribuído incorretamente a Bertrand Russell (por exemplo, por Martin Gardner em Aha!). Foi sugerido a Gardner como uma forma alternativa do paradoxo de Russell, que Russell havia planejado para mostrar que a teoria dos conjuntos usada por Georg Cantor e Gottlob Frege continha contradições. No entanto, Russell negou que o paradoxo do barbeiro fosse um exemplo dele:

Essa contradição [paradoxo de Russell] é extremamente interessante. Você pode modificar sua forma; algumas formas de modificação são válidas e outras não. Uma vez tive uma forma sugerida para mim que não era válida, a saber, se o barbeiro se barbeia ou não. Você pode definir o barbeiro como “aquele que barbeia todos aqueles e somente aqueles que não se barbeiam”. A questão é: o barbeiro se barbeia? Nesta forma, a contradição não é muito difícil de resolver. Mas, em nossa forma anterior, acho claro que você só pode contornar isso observando que toda a questão de saber se uma classe é ou não um membro de si mesma é um disparate, ou seja, que nenhuma classe é ou não é um membro de si mesma. , e que nem sequer é verdade dizer isso, porque toda a forma de palavras é apenas ruído sem significado.
– Bertrand Russell, A Filosofia do Atomismo Lógico

Este ponto é elaborado mais adiante nas versões aplicadas do paradoxo de Russell.

Declaração
Podemos afirmar o paradoxo da seguinte maneira:

O conselho municipal de uma vila vota um decreto municipal que ordena que seu barbeiro (masculino) faça a barba de todos os habitantes masculinos da vila que não se barbeiam e somente estes.

O barbeiro, que é morador da vila, não pôde respeitar esta regra porque:

Se ele se barbeia, ele infringe a regra, porque o barbeiro só pode barbear homens que não se barbearam;
Se ele não se barbeia – se barbeia ou mantém a barba – ele também é culpado, porque é responsável por barbear homens que não se barbearam.
Esta regra é, portanto, inaplicável. No entanto, isso é um paradoxo? Não há razão para acreditar que um conselho da aldeia ou qualquer outro órgão possa ser a fonte de uma lei absurda. De fato, longe de ser uma antinomia lógica, esse “paradoxo” mostra simplesmente que um barbeiro respeitando essa regra não pode existir. É uma ilustração do que, se R é uma relação binária arbitrária (neste caso “… barbear…”), a seguinte declaração, escrita em linguagem formal:

∃ ∃ y ∀ x (y R x ¬ x R x)
é uma fórmula universalmente válida para calcular predicados de primeira ordem. Vamos nos referir ao artigo sobre o paradoxo de Russell para ver por que isso pode levar, no caso da relação de associação em uma teoria dos conjuntos ingênua a uma antinomia real, ou seja, a uma contradição demonstrada na teoria.

Como de fato se aplica a qualquer relação (binária), pode-se dar, com mais ou menos felicidade, múltiplas variantes. Vamos citar este, devido a Martin Gardner: é logicamente possível escrever um catálogo que lista todos os catálogos que não se listam e somente estes? A resposta é não, pois esse catálogo não pode ser listado nem pode ser listado.

Na lógica de primeira ordem
{\ displaystyle (\ existe x) ({\ text {person}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {person}} (y) \ rightarrow ({\ text {shaves}} (x, y) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (y, y))))}}
Esta frase é insatisfatória (uma contradição) por causa do quantificador universal(\para todos ). O quantificador universal y incluirá todos os elementos do domínio, incluindo o nosso infame barbeiro x. Portanto, quando o valor x é atribuído a y, a frase pode ser reescrita para{\ text {shaves}} (x, x) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (x, x), que é um exemplo da contradiçãoa \ leftrightarrow \ neg a.

Variantes
Existem muitas variantes do paradoxo, por exemplo:

O barbeiro de Sevilha faz a barba de todos os homens de Sevilha, exceto os que se barbearam. Essa decoração não fornece a definição insensata de Russell, mas implica apenas que o barbeiro não é um homem de Sevilha (talvez uma barbearia ou um barbeiro trabalhando lá de uma cidade vizinha).

Um comando paradoxal: “Todos os prefeitos não podem morar em sua própria cidade, mas precisam se mudar para a cidade especialmente estabelecida de Bümstädt. Onde agora mora o prefeito de Bümstädt? ”

Abordagem da antinomia russa: Uma biblioteca deseja criar um catálogo bibliográfico que lista todos os catálogos bibliográficos que não contêm uma referência para si mesmos. Este catálogo também deve ser listado? Nesse caso, ele recebe uma referência a si mesmo e ainda não pertence ao conjunto de catálogos listados. Caso contrário, ele não contém nenhuma referência a si mesmo e ainda pertence a esse conjunto.

O antigo sofisma de Euathlos também está relacionado.