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Paradoxos

Paradoxo inesperado de suspensão

O paradoxo inesperado de enforcamento ou paradoxo da forca é um paradoxo sobre as expectativas de uma pessoa sobre o momento de um evento futuro, que dizem que ocorrerá em um momento inesperado. O paradoxo é aplicado de várias formas ao enforcamento de um prisioneiro ou a um teste surpresa na escola. Pode ser reduzido ao paradoxo de Moore.

Apesar do interesse acadêmico significativo, não há consenso sobre sua natureza precisa e, conseqüentemente, uma resolução final correta ainda não foi estabelecida. A análise lógica sugere que o problema surge em uma declaração de auto-referência auto-contraditória no coração da sentença do juiz. Estudos epistemológicos do paradoxo sugeriram que ele se volta para o nosso conceito de conhecimento. Embora aparentemente seja simples, as complexidades subjacentes do paradoxo levaram até a ser chamado de “problema significativo” para a filosofia.

Descrição do paradoxo
O paradoxo foi descrito da seguinte maneira:

Um juiz diz a um prisioneiro condenado que ele será enforcado ao meio-dia em um dia da semana da semana seguinte, mas que a execução será uma surpresa para o prisioneiro. Ele não saberá o dia do enforcamento até o carrasco bater à porta da cela ao meio-dia daquele dia.

Tendo refletido sobre sua sentença, o prisioneiro tira a conclusão de que ele escapará do enforcamento. Seu raciocínio está em várias partes. Ele começa concluindo que o “enforcamento surpresa” não pode ser na sexta-feira, como se não tivesse sido enforcado na quinta-feira, resta apenas um dia – e, portanto, não será uma surpresa se ele for enforcado na sexta-feira. Como a sentença do juiz estipulou que o enforcamento seria uma surpresa para ele, ele conclui que não pode ocorrer na sexta-feira.

Ele então argumenta que o enforcamento surpresa também não pode ser na quinta-feira, porque sexta-feira já foi eliminada e se ele não foi enforcado até o meio-dia de quarta-feira, o enforcamento deve ocorrer na quinta-feira, fazendo com que o enforcamento de quinta-feira também não seja uma surpresa. Por um raciocínio semelhante, ele conclui que o enforcamento também não pode ocorrer na quarta, terça ou segunda-feira. Com alegria, ele se retira para a cela, confiante de que o enforcamento não ocorrerá.

Na semana seguinte, o carrasco bate à porta do prisioneiro ao meio-dia da quarta-feira – o que, apesar de tudo acima, foi uma grande surpresa para ele. Tudo o que o juiz disse se tornou realidade.

Outras versões do paradoxo substituem a sentença de morte por um treinamento surpresa contra incêndio, exame, teste pop, lançamento de teste A / B ou um leão atrás de uma porta.

Representações clássicas
O paradoxo é mencionado pela primeira vez na edição de julho de 1948 da revista filosófica inglesa Mind. A variante existe: um comandante militar anunciou um blecaute total (“blecaute de classe A”) na próxima semana, e os afetados só devem descobrir isso depois das 6:00 do dia correspondente.

O paradoxo circula oralmente desde 1943, o mais tardar. O rádio sueco havia anunciado em 1943 ou 1944, um exercício de ataque aéreo que ocorreria na semana seguinte. Foi acrescentado que ninguém poderia prever quando isso aconteceria, mesmo na manhã do dia da prática. Lennart Ekbom, professor de matemática no Östermalms College, em Estocolmo, tomou conhecimento das dificuldades lógicas envolvidas.

Michael Scriven, professor de lógica científica da Universidade de Indiana, discutiu o paradoxo como “novo e poderoso paradoxo” em 1951, também em mente.

Nas representações clássicas, o paradoxo é retratado usando o exemplo de alguém condenado à morte. As versões desativadas substituem a execução do prisioneiro por um teste surpresa anunciado aos estudantes em um futuro próximo.

Paradoxo do carrasco
Um preso é condenado a ser executado dentro de uma semana (de segunda a domingo). As execuções sempre ocorrem ao meio-dia. Ele não é informado no dia da execução para mantê-lo ansioso. Ele também é informado de que o compromisso é completamente inesperado para ele. No entanto, ele considera: “Se eu sobreviver ao meio dia no penúltimo dia da semana, tenho que ser executado ao meio dia no último dia, mas isso não seria inesperado. Portanto, o último compromisso possível pode ser excluído. Se eu ainda morar ao meio-dia antes da penúltima data, a execução poderá ser agendada para a última ou penúltima data, mas eu já descartei a última, portanto, existe apenas a penúltima; no entanto, isso não seria inesperado. E assim por diante: ainda moro ao meio-dia antes do segundo último compromisso,

Teste inesperado
Uma professora diz à turma: “Na próxima semana, você fará um teste completamente surpreendente sobre esse assunto!” Uma das crianças acha que isso é impossível. Ela diz: “A turma tem esse assunto às segundas, quintas e sextas-feiras. Se o teste for escrito na sexta-feira, não é surpreendente, mas previsível na quinta-feira após a aula. O teste é realizado na quinta-feira? Não, porque eu já excluí sexta-feira e segunda-feira já acabou e também pode ser excluída. Portanto, o teste deve ser na segunda-feira e não seria surpreendente. A professora ainda pode fazer seu anúncio verdadeiro?

Wissensparadox
Segundo Kaplan e Montague, o paradoxo pode ser reduzido ao chamado “paradoxo do conhecedor” (paradoxo do conhecimento), que consiste na seguinte frase: “Sabe-se que esta frase está errada”.

Análises
Além de resolver o paradoxo, surge a questão de saber onde está o erro na lógica do prisioneiro, que assume que ele sobreviverá.

1. Análise: O erro do prisioneiro consiste em realizar uma etapa de indução depois que ele reconhece uma contradição. Basicamente, você pode deduzir tudo de algo errado, incluindo a sobrevivência (não aplicável). Se o prisioneiro ainda estiver vivo no domingo de manhã, ele sabe que uma das duas declarações feitas pelo guarda (“Você será executado até domingo o mais tardar” e “Você não saberá no dia anterior”) estava errada. Como ele não sabe qual das duas afirmações estava errada, ele não pode tirar mais conclusões.

Obviamente, o prisioneiro pode tirar a conclusão: “Se as duas declarações da guarda forem verdadeiras, não vou mais experimentar o domingo”.

No sábado de manhã, existem as seguintes opções: “O carrasco vem hoje ou o guarda mentiu”. O prisioneiro não sabe qual das duas afirmações sobre o “ou” é verdadeira. Portanto, o carrasco pode vir “surpreendentemente” no sábado. E é claro, especialmente na sexta, quinta, quarta, terça ou segunda-feira.

2. Análise: Vamos supor que o prisioneiro ainda esteja vivo na noite de sábado: ele poderia prever com cem por cento de certeza que será executado no domingo? O paradoxo surge da resposta a essa pergunta com sim, mas a resposta correta é não. O prisioneiro assume que a afirmação de que ele será surpreendentemente executado na próxima semana é verdadeira; no entanto, se ele assume uma execução inesperada, mesmo no sábado à noite, não pode esperar ser executado no domingo, pois isso contradiz sua própria suposição. Logo, o prisioneiro pode ser surpreendentemente executado mesmo no domingo, com o qual seu raciocínio seria refutado.

Caso analógico: darei o livro que você solicitou e meu presente será uma surpresa. À primeira vista, apenas uma das duas promessas pode ser cumprida. Mas se a outra pessoa assume que minha afirmação está correta, é impossível prever que darei o livro correspondente, porque, do ponto de vista dessa pessoa, as duas afirmações parciais se contradizem, o que torna impossível uma previsão. Para que eu possa dar à pessoa o livro que ela queria como surpresa.

O erro lógico que transforma ambos os casos em paradoxos é a suposição de que uma previsão clara pode ser feita com base nos fatos. Isso não é verdade pelo simples motivo de que, nas duas vezes em que é feita a afirmação, é impossível prever. Como a veracidade dessa afirmação deve ser assumida, nenhum dia pode ser descartado (com base na situação do prisioneiro), uma vez que uma exclusão também é uma previsão clara, que contradiz a declaração surpresa e, portanto, não pode ser aceita. Em outras palavras, a declaração A execução é surpreendentemente automática de que a execução pode ocorrer em qualquer dia da semana; portanto, nem mesmo o domingo pode ser excluído.

3. Análise: O raciocínio lógico do prisioneiro ocorre como indução retroativa. isto é, ele começa sua linha de argumentação com a abordagem: “Se eu ainda morar no sábado à noite …” O argumento não poderá mais ser usado se ele não experimentar mais o sábado porque foi executado anteriormente. Seu raciocínio implica que ele ainda estará vivo para ter certeza ou surpresa. Ou, de outra forma: partindo do princípio de que a execução não ocorreu até o sábado, inclusive, pode-se concluir corretamente que o domingo também não é a data da execução. As conclusões adicionais são então derivadas desta primeira conclusão, a saber, que sábado, sexta-feira, quinta-feira etc. também devem ser excluídas. Como essas conclusões se baseiam umas nas outras e, portanto, finalmente na primeira, todas elas se aplicam apenas se o pré-requisito para a primeira conclusão for cumprido, a saber, que a execução não ocorreu até sábado. A linha de pensamento, portanto, prova apenas que o delinqüente não pode ser executado se ele sobreviver até a noite de sábado. Caso contrário, as conclusões simplesmente repetem sua suposição.

Escola lógica
A formulação do anúncio do juiz em lógica formal é dificultada pelo vago significado da palavra “surpresa”. Uma tentativa de formulação pode ser:

O prisioneiro será enforcado na próxima semana e a data (do enforcamento) não será deduzível na noite anterior, partindo do pressuposto de que o enforcamento ocorrerá durante a semana (A).

Dado este anúncio, o preso pode deduzir que o enforcamento não ocorrerá no último dia da semana. No entanto, para reproduzir a próxima etapa da discussão, que elimina o penúltimo dia da semana, o preso deve argumentar que sua capacidade de deduzir, a partir da afirmação (A), que o enforcamento não ocorrerá no último dia, implica que um enforcamento do segundo ao último dia não seria surpreendente. Mas como o significado de “surpreendente” foi restrito a não dedutível, partindo do pressuposto de que a interrupção ocorrerá durante a semana, em vez de não dedutível da declaração (A), o argumento é bloqueado.

Isso sugere que uma melhor formulação seria de fato:

O prisioneiro será enforcado na próxima semana e sua data não será deduzível na noite anterior usando esta declaração como axioma (B).

A Fitch mostrou que essa afirmação ainda pode ser expressa em lógica formal. Usando uma forma equivalente do paradoxo que reduz a duração da semana para apenas dois dias, ele provou que, embora a auto-referência não seja ilegítima em todas as circunstâncias, é nesse caso porque a afirmação é autocontraditória.

Escola epistemológica
Várias formulações epistemológicas foram propostas que mostram que as suposições tácitas do prisioneiro sobre o que ele saberá no futuro, juntamente com várias suposições plausíveis sobre o conhecimento, são inconsistentes.

Chow (1998) fornece uma análise detalhada de uma versão do paradoxo em que um enforcamento surpresa deve ocorrer em um dos dois dias. Aplicando a análise de Chow ao caso do enforcamento inesperado (novamente com a semana reduzida para dois dias por simplicidade), começamos com a observação de que o anúncio do juiz parece afirmar três coisas:

S1: A interrupção ocorrerá na segunda ou terça-feira.
S2: Se o enforcamento ocorrer na segunda-feira, o prisioneiro não saberá no domingo à noite que isso ocorrerá na segunda-feira.
S3: Se o enforcamento ocorrer na terça-feira, o preso não saberá na segunda-feira à noite que ocorrerá na terça-feira.

Como primeiro passo, o prisioneiro argumenta que um cenário em que o enforcamento ocorre na terça-feira é impossível porque leva a uma contradição: por um lado, por S3, o prisioneiro não seria capaz de prever a terça-feira pendurada na segunda-feira à noite; por outro lado, por S1 e processo de eliminação, o prisioneiro seria capaz de prever a terça-feira pendurada na noite de segunda-feira.

A análise de Chow aponta para uma falha sutil no raciocínio do prisioneiro. O que é impossível não é uma suspensão de terça-feira. Pelo contrário, o impossível é uma situação em que o enforcamento ocorre na terça-feira, apesar de o prisioneiro saber na segunda-feira à noite que as afirmações do juiz S1, S2 e S3 são verdadeiras.

O raciocínio do prisioneiro, que dá origem ao paradoxo, é capaz de decolar porque o prisioneiro assume tacitamente que, na segunda-feira à noite, ele (se ainda estiver vivo) saberá que S1, S2 e S3 são verdadeiros. Essa suposição parece injustificada por vários motivos diferentes. Pode-se argumentar que o pronunciamento do juiz de que algo é verdadeiro nunca pode ser motivo suficiente para o prisioneiro saber que é verdade. Além disso, mesmo que o prisioneiro saiba que algo é verdadeiro no momento presente, fatores psicológicos desconhecidos podem apagar esse conhecimento no futuro. Finalmente, Chow sugere que, como a afirmação que o prisioneiro “sabe” ser verdadeira é uma afirmação sobre sua incapacidade de “conhecer” certas coisas, há razões para acreditar que o inesperado paradoxo pendurado é simplesmente uma versão mais complexa de Paradoxo de Moore. Uma analogia adequada pode ser alcançada reduzindo-se a duração da semana para apenas um dia. Então a sentença do juiz se torna: você será enforcado amanhã, mas você não sabe disso.

Foi sugerido que a eliminação lógica do prisioneiro torna qualquer dia da semana um dia válido para a execução.

Comente
Esse paradoxo é tão perturbador porque, apesar do fato de os estudantes parecerem provar que a afirmação é autocontraditória, no final, é verdade. Várias resoluções foram sugeridas para ela.

Pode-se dizer que não está claro o que os alunos podem esperar e quando devem ser surpreendidos. Se os alunos são paranóicos e todos os dias pensam que farão o teste no dia seguinte, então obviamente não é uma surpresa e o paradoxo desaparece. Quando estudamos o paradoxo, não tendemos a oferecer a possibilidade de repetir sua decisão, ou seja, acreditamos que os alunos só podem escolher uma vez no dia do exame. No entanto, em seu raciocínio, os estudantes oferecem essa liberdade: “Se não a tivermos na quinta-feira, decidiremos que deve ser sexta-feira, então na quarta-feira decidiremos que seja quinta-feira…”.

Outra solução possível é comparar o ponto de vista dos alunos com o do resto do mundo. Podemos dizer que eles ficarão “surpresos” se não puderem provar de maneira razoável e consistente que isso ocorrerá dessa maneira, usando as reivindicações do professor como axiomas. Nesse caso, os alunos ficam realmente surpresos no momento do exame. Embora eles não tenham sido capazes de provar quando o teste será realizado, todos os outros observadores puderam. A contradição só apareceu quando os alunos tentaram provar.

Esse paradoxo é análogo ao paradoxo do mentiroso, no sentido de que seus axiomas são auto-referentes, ou seja, eles falam sobre sua própria veracidade. Difere disso porque adiciona um novo elemento, que indica que pessoa deve experimentá-los. A palavra “surpresa” é essencialmente um axioma que afirma que os estudantes não podem tentar certas coisas enquanto todo mundo faz. Isso significa que realmente não há paradoxo, pois é perfeitamente possível que possamos provar algo que os alunos não podem, devido à maneira como os axiomas se referem àquele que faz o teste.

É interessante notar que o Teorema da Incompletude de Gödel pode ser visto como uma maneira de traduzir o paradoxo do mentiroso em matemática formal, uma vez que ele encontrou uma maneira formal de deixar a referência dos axiomas. Não existe tal tradução para esse paradoxo, uma vez que axiomas formais não podem se referir a um observador específico dessa maneira.

Na literatura
O paradoxo aparece no romance Mr Mee, de Andrew Crumey:

Tissot mostrou um entendimento errado dos meus ensinamentos quando, exasperado por sua persistência melancolia e sua ocupação quase permanente da minha escrivaninha, eu lhe disse: ‘Na próxima semana vou trazer sua esposa aqui para que você possa falar com ela em pessoa e resolva suas dificuldades. Sei que você não quer vê-la e, portanto, não direi em que dia ela chegará; mas tenha certeza de que a encontrará antes que a semana termine.

Tissot sabia que sua esposa não seria levada a confrontá-lo na próxima sexta-feira, porque, naquele caso, ele poderia estar certo na quinta-feira à noite de que ela deveria estar vindo, e ele poderia se ausentar. Mas, igualmente, eu também teria que evitar a quinta-feira, pois, caso contrário, ele seria avisado quando a quarta-feira passasse sem uma cena. Demitindo todos os dias da mesma maneira, Tissot concluiu que sua esposa nunca poderia aparecer inesperadamente para discuti-lo; mas na quinta-feira ele atendeu a porta para ser recebido não só por ela, mas também por sua mãe, que lhe deu um tapinha forte nos ouvidos enquanto eu me fazia escasso, julgando silenciosamente que um lógico tão pobre merecia tudo o que tinha.

O paradoxo também aparece no romance infantil Mais Aritmética Lateral da Escola Wayside, de Louis Sachar. Em uma das histórias, a professora, a senhora Jewls, planeja fazer um teste na semana seguinte, mas não avisa a classe com antecedência. Ao contrário do paradoxo clássico, os estudantes que eliminam os dias um a um fazem com que a sra. Jewls abandone a idéia.