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Paradoxos

Paradoxo da vinculação

Como o mais conhecido dos paradoxos, e o mais formalmente simples, o paradoxo da vinculação é a melhor introdução.

Na linguagem natural, surge um exemplo do paradoxo da vinculação:

Está chovendo

E

Não está chovendo

Portanto

George Washington é feito de ancinhos.

Isso surge do princípio da explosão, uma lei da lógica clássica que afirma que premissas inconsistentes sempre tornam válido um argumento; isto é, premissas inconsistentes implicam qualquer conclusão. Isso parece paradoxal porque, embora o argumento acima seja um argumento logicamente válido, ele não é válido (nem todas as suas premissas são verdadeiras).

Construção
A validade é definida na lógica clássica da seguinte maneira:

Um argumento (consistindo em premissas e uma conclusão) é válido se e somente se não houver uma situação possível em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.
Por exemplo, um argumento válido pode ser executado:

Se estiver chovendo, a água existe (1ª premissa)
Está chovendo (2ª premissa)
Existe água (Conclusão)

Neste exemplo, não há situação possível em que as premissas sejam verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. Como não há contra-exemplo, o argumento é válido.

Mas alguém poderia construir um argumento em que as premissas são inconsistentes. Isso satisfaria o teste de um argumento válido, pois não haveria situação possível em que todas as premissas sejam verdadeiras e, portanto, nenhuma situação possível em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.

Por exemplo, um argumento com premissas inconsistentes pode ser executado:

Está definitivamente chovendo (1ª premissa; é verdade)
Não está chovendo (segunda premissa; falso)
George Washington é feito de ancinhos (Conclusão)

Como não há uma situação possível em que ambas as premissas possam ser verdadeiras, certamente não há uma situação possível em que as premissas possam ser verdadeiras enquanto a conclusão foi falsa. Portanto, o argumento é válido independentemente da conclusão; premissas inconsistentes implicam todas as conclusões.

Explicação
A estranheza do paradoxo da vinculação deriva do fato de que a definição de validade na lógica clássica nem sempre concorda com o uso do termo na linguagem comum. No uso diário, a validade sugere que as premissas são consistentes. Na lógica clássica, a noção adicional de solidez é introduzida. Um argumento sólido é um argumento válido com todas as premissas verdadeiras. Portanto, um argumento válido com um conjunto inconsistente de premissas nunca pode ser válido. Uma melhoria sugerida para a noção de validade lógica para eliminar esse paradoxo é a lógica relevante.

Simplificação
As fórmulas clássicas do paradoxo estão intimamente ligadas à fórmula,

p ∧ q → p
o princípio da simplificação, que pode ser derivado das fórmulas paradoxais com bastante facilidade (por exemplo, de (1) por importação). Além disso, há sérios problemas ao tentar usar as implicações materiais como representando o inglês “se … então …”. Por exemplo, a seguir, são inferências válidas:

(p → q) ∧ (r → s) ⊢ (p → s) ∨ (r → q)
(p ∧ q) → r ⊢ (p → r) ∨ (q → r)}
mas mapear essas frases de volta para as frases em inglês usando “se” dá paradoxos. A primeira pode ser lida: “Se John está em Londres, ele está na Inglaterra, e se ele está em Paris, ele está na França. Portanto, é verdade que (a) se John está em Londres, então ele está na França, ou (b) que, se ele está em Paris, ele está na Inglaterra. ” Usando implicação material, se John realmente está em Londres, então (já que ele não está em Paris) (b) é verdadeiro; enquanto que se ele estiver em Paris, (a) é verdade. Como ele não pode estar nos dois lugares, a conclusão de que pelo menos um de (a) ou (b) é verdadeiro é válida.

Mas isso não corresponde ao modo como “se … então …” é usado em linguagem natural: o cenário mais provável em que alguém diria “Se John está em Londres, ele está na Inglaterra” é se não se sabe onde John está, mas no entanto, sabe que se ele está em Londres, ele está na Inglaterra. Sob essa interpretação, ambas as premissas são verdadeiras, mas ambas as cláusulas da conclusão são falsas.

O segundo exemplo pode ser lido “Se os interruptores A e B estiverem fechados, a luz estará acesa. Portanto, é verdade que, se o interruptor A estiver fechado, a luz estiver acesa, ou se o interruptor B estiver fechado, a luz estará acesa. ” Aqui, a interpretação em linguagem natural mais provável das declarações “se … então …” seria “sempre que o interruptor A estiver fechado, a luz estiver acesa” e “sempre que o interruptor B estiver fechado, a luz estará acesa”. Novamente, sob essa interpretação, ambas as cláusulas da conclusão podem ser falsas (por exemplo, em um circuito em série, com uma luz que só acende quando os dois interruptores estão fechados).