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Paradoxos

Paradoxo do bebedor

O paradoxo do bebedor (também conhecido como teorema do bebedor, princípio do bebedor ou princípio da bebida) é um teorema da lógica clássica dos predicados que pode ser declarado como “Há alguém no pub que, se ele estiver bebendo, todos os o bar está bebendo. Foi popularizado pelo lógico matemático Raymond Smullyan, que o chamou de “princípio da bebida” em seu livro de 1978 Qual é o nome deste livro?

A natureza aparentemente paradoxal da afirmação vem da maneira como geralmente é afirmada na linguagem natural. Parece contraditório que possa haver uma pessoa que esteja fazendo com que os outros bebam, ou que possa haver uma pessoa que, durante toda a noite em que uma pessoa sempre tenha sido a última a beber. A primeira objeção vem de confundir declarações formais de “se então” com causalidade (consulte Correlação não implica lógica de causalidade ou Relevância para lógicas que exigem relações relevantes entre premissa e conseqüente, diferentemente da lógica clássica assumida aqui). A afirmação formal do teorema é atemporal, eliminando a segunda objeção, porque a pessoa que a afirmação é verdadeira por um instante não é necessariamente a mesma pessoa que ela é verdadeira em qualquer outro instante.

A declaração formal do teorema é

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)]
onde D é um predicado arbitrário e P é um conjunto não vazio arbitrário.

Provas
A prova começa reconhecendo que é verdade que todo mundo no bar está bebendo ou pelo menos uma pessoa no pub não está bebendo. Consequentemente, há dois casos a serem considerados:

Suponha que todos estejam bebendo. Para qualquer pessoa em particular, não pode ser errado dizer que, se essa pessoa está bebendo, todos no pub estão bebendo – porque todo mundo está bebendo. Porque todo mundo está bebendo, então essa pessoa deve beber, porque quando essa pessoa bebe todo mundo bebe, todo mundo inclui essa pessoa.
Caso contrário, pelo menos uma pessoa não está bebendo. Para qualquer pessoa que não bebe, a afirmação se essa pessoa em particular está bebendo, então todos no bar estão bebendo formalmente verdade: seu antecedente (“essa pessoa em particular está bebendo”) é falso, portanto, a afirmação é verdadeira devido à natureza do material implicação na lógica formal, que afirma que “Se P, então Q” é sempre verdadeiro se P for falso. (Dizem que esses tipos de afirmações são vacuamente verdadeiros.)
Uma maneira um pouco mais formal de expressar o que foi dito acima é dizer que, se todo mundo bebe, qualquer um pode ser testemunha da validade do teorema. E se alguém não bebe, esse indivíduo que não bebe pode ser testemunha da validade do teorema.

Explicação da paradoxalidade
O paradoxo é finalmente baseado no princípio da lógica formal de que a afirmação A → B é verdadeira sempre que A é falsa, ou seja, qualquer afirmação segue de uma afirmação falsa (ex falso quodlibet).

O que é importante para o paradoxo é que o condicional na lógica clássica (e intuicionista) é o condicional material. Tem a propriedade de que A → B é verdadeiro se B for verdadeiro ou se A for falso (na lógica clássica, mas não na lógica intuicionista, esta também é uma condição necessária).

Portanto, como foi aplicada aqui, a afirmação “se ele está bebendo, todo mundo está bebendo” foi considerada correta em um caso, se todo mundo estava bebendo e, no outro caso, se ele não estava bebendo – mesmo que ele possa beber não teve nada a ver com a bebida de outra pessoa.

Por outro lado, na linguagem natural, normalmente “se … então …” é usado como condicional indicativo.

História e variações
Smullyan, em seu livro de 1978, atribui a nomeação de “O princípio da bebida” a seus alunos de pós-graduação. Ele também discute variantes (obtidas substituindo D por outros predicados mais dramáticos):

“Existe uma mulher na terra que, se ela se tornar estéril, toda a raça humana desaparecerá”. Smullyan escreve que essa formulação surgiu de uma conversa que ele teve com o filósofo John Bacon.
Uma versão “dupla” do Princípio: “existe pelo menos uma pessoa que, se alguém bebe, então ele bebe”.

Como “princípio dos bebedores ‘de Smullyan” ou apenas “princípio dos bebedores”, ele aparece em “A busca pela correção”, de HP Barendregt (1996), acompanhada de algumas provas de máquina. Desde então, ele apareceu regularmente como exemplo em publicações sobre raciocínio automatizado; às vezes é usado para contrastar a expressividade dos assistentes de prova

Domínio não vazio
No cenário com domínios vazios permitidos, o paradoxo do bebedor deve ser formulado da seguinte maneira:

Um conjunto P satisfaz

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)],
se e somente se não estiver vazio.

Ou em palavras:

Se e somente se houver alguém no pub, há alguém no pub de tal forma que, se ele estiver bebendo, todos estarão no pub.