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Paradoxos

Aquiles e o paradoxo da tartaruga

“O que a tartaruga disse a Aquiles”, escrito por Lewis Carroll em 1895 para a revista filosófica Mind, é um breve diálogo alegórico sobre os fundamentos da lógica. O título faz alusão a um dos paradoxos do movimento de Zenão, em que Aquiles nunca poderia ultrapassar a tartaruga em uma corrida. No diálogo de Carroll, a tartaruga desafia Aquiles a usar a força da lógica para fazê-lo aceitar a conclusão de um simples argumento dedutivo. Por fim, Aquiles falha, porque a tartaruga inteligente o leva a uma regressão infinita.

Resumo do diálogo
A discussão começa considerando o seguinte argumento lógico:

A: “Coisas iguais são iguais entre si” (relação euclidiana, uma forma enfraquecida da propriedade transitiva)
B: “Os dois lados deste triângulo são coisas iguais.”
Portanto, Z: “Os dois lados deste triângulo são iguais um ao outro”
A Tartaruga pergunta a Aquiles se a conclusão segue logicamente das premissas, e Aquiles concorda que obviamente. A Tartaruga então pergunta a Aquiles se pode haver um leitor de Euclides que admita que o argumento é logicamente válido, como uma sequência, enquanto nega que A e B são verdadeiros. Aquiles aceita que tal leitor possa existir, e que ele sustentaria que se A e B são verdadeiros, então Z deve ser verdadeiro, embora ainda não aceite que A e B sejam verdadeiros (ou seja, um leitor que nega as premissas).

A Tartaruga então pergunta a Aquiles se existe um segundo tipo de leitor, que aceita que A e B são verdadeiros, mas que ainda não aceita o princípio de que, se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro. Aquiles concede à tartaruga que esse segundo tipo de leitor também possa existir. A tartaruga, então, pede a Aquiles que a trate como um leitor desse segundo tipo. Aquiles agora deve obrigar logicamente a Tartaruga a aceitar que Z deve ser verdadeiro. (A tartaruga é um leitor que nega a forma do argumento; a conclusão, a estrutura ou a validade do silogismo.)

Depois de escrever A, B e Z em seu caderno, Aquiles pede à tartaruga que aceite a hipótese:

C: “Se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro”

A Tartaruga concorda em aceitar C, se Aquiles escrever o que deve aceitar em seu caderno, apresentando o novo argumento:

A: “Coisas iguais são iguais entre si”
B: “Os dois lados deste triângulo são coisas iguais.”
C: “Se A e B são verdadeiros, Z deve ser verdadeiro”
Portanto, Z: “Os dois lados deste triângulo são iguais um ao outro”

Mas agora que a Tartaruga aceita a premissa C, ainda se recusa a aceitar o argumento expandido. Quando Aquiles exige que “se você aceita A e B e C, deve aceitar Z”, a Tartaruga observa que essa é outra proposição hipotética e sugere que, mesmo que aceite C, ainda assim poderá falhar em concluir Z se não encontrar o verdade de:

D: “Se A, B e C forem verdadeiros, Z deve ser verdadeiro”

A Tartaruga continua aceitando cada premissa hipotética quando Aquiles a escreve, mas nega que a conclusão necessariamente se segue, uma vez que nega a hipótese de que, se todas as premissas escritas até agora são verdadeiras, Z deve ser verdade:

“E finalmente chegamos ao final deste hipódromo ideal! Agora que você aceita A e B e C e D, é claro que aceita Z. ”

“Eu?” disse a tartaruga inocentemente. “Vamos deixar isso bem claro. Aceito A e B, C e D. Suponha que ainda me recusei a aceitar Z?

“Então a lógica o levaria pela garganta e forçaria você a fazê-lo!” Aquiles respondeu triunfante. “A lógica dizia: ‘Você não pode se ajudar. Agora que você aceitou A, B, C e D, deve aceitar Z! Então você não tem escolha, entende?

“O que quer que a Logic seja boa o suficiente para me dizer vale a pena ser anotada”, disse a tartaruga. “Então coloque no seu caderno, por favor. Vamos chamá-lo

(E) Se A e B e C e D forem verdadeiros, Z deve ser verdadeiro.
Até conceder isso, é claro que não preciso conceder Z. Portanto, é um passo necessário, entende?

“Entendo”, disse Aquiles; e havia um toque de tristeza em seu tom.

Assim, a lista de premissas continua a crescer sem fim, deixando o argumento sempre na forma:

(1): “Coisas iguais são iguais entre si”
(2): “Os dois lados deste triângulo são coisas iguais à mesma”
(3): (1) e (2) ⇒ (Z)
(4): (1) e (2) e (3) ⇒ (Z)

(n): (1) e (2) e (3) e (4) e… e (n – 1) ⇒ (Z)
Portanto, (Z): “Os dois lados deste triângulo são iguais um ao outro”

A cada passo, a Tartaruga argumenta que, embora ele aceite todas as premissas que foram escritas, há alguma premissa adicional (que, se todas as (1) – (n) forem verdadeiras, (Z) deve ser verdadeira) que ele ainda precisa aceitar antes de ser obrigado a aceitar que (Z) é verdadeiro.

Explicação
Lewis Carroll estava mostrando que existe um problema regressivo que surge das deduções do modus ponens.

P para Q, P / portanto Q

Ou, em palavras: a proposição P (é verdadeira) implica Q (é verdadeira) e, dada a P, portanto, Q.

O problema de regressão surge porque é necessário um princípio anterior para explicar princípios lógicos, aqui modus ponens, e uma vez que esse princípio é explicado, é necessário outro princípio para explicar esse princípio. Assim, se a cadeia causal deve continuar, o argumento cai em regressão infinita. No entanto, se um sistema formal for introduzido, onde o modus ponens é simplesmente uma regra de inferência definida dentro do sistema, ele poderá ser cumprido simplesmente pelo raciocínio dentro do sistema.

Por analogia, o xadrez é jogado de acordo com um conjunto específico de regras e, quando uma pessoa joga xadrez, ela não pode questionar ou implorar para diferir das regras dadas, mas deve respeitá-las porque elas formam a própria estrutura do jogo. Isso não quer dizer que o jogador de xadrez concorde com essas regras (considere, por exemplo, mudanças de regras como en passant). Da mesma forma, um sistema formal de lógica consiste em regras de inferência que devem ser seguidas pelo usuário do sistema e, quando uma pessoa raciocina de acordo com esse sistema formal, ela não pode questionar ou diferir dessas regras de inferência, mas deve segui-las porque eles formam os próprios constituintes do sistema. Isso não quer dizer que o raciocínio do usuário de acordo com este sistema formal esteja de acordo com essas regras (considere, por exemplo, a rejeição do construtivista à Lei do Meio Excluído e a rejeição do dialetista à Lei da não-contradição). Dessa forma, formalizar a lógica como um sistema pode ser considerada uma resposta ao problema da regressão infinita: o modus ponens é colocado como uma regra no sistema, a validade do modus ponens é evitada sem o sistema.

Na lógica proposicional, a implicação lógica é definida da seguinte maneira:

P implica Q se e somente se a proposição não P ou Q for uma tautologia.

Portanto, de modo ponente, [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, é uma conclusão lógica válida de acordo com a definição de implicação lógica que acabamos de declarar. Demonstrar a implicação lógica simplesmente se traduz em verificar se a tabela composta de verdade produz uma tautologia. Mas a tartaruga não aceita na fé as regras da lógica proposicional em que esta explicação se baseia. Ele pede que essas regras também estejam sujeitas a provas lógicas. A Tartaruga e Aquiles não concordam com nenhuma definição de implicação lógica.

Além disso, a história sugere problemas com a solução proposicional. Dentro do sistema de lógica proposicional, nenhuma proposição ou variável carrega qualquer conteúdo semântico. No momento em que qualquer proposição ou variável assume conteúdo semântico, o problema surge novamente porque o conteúdo semântico é executado fora do sistema. Assim, se se quiser que a solução funcione, deve-se dizer que funcione apenas dentro do sistema formal fornecido, e não de outra forma.

Alguns lógicos (Kenneth Ross, Charles Wright) fazem uma firme distinção entre o conectivo condicional e a relação de implicação. Esses lógicos usam a frase não p ou q para o conectivo condicional e o termo implica em uma relação de implicação afirmada.

Discussão
Vários filósofos tentaram resolver o paradoxo de Carroll. Bertrand Russell discutiu brevemente o paradoxo no § 38 de The Principles of Mathematics (1903), distinguindo entre implicação (associada à forma “se p, então q”), que ele considerava uma relação entre proposições não declaradas e inferência (associada com a forma “p, portanto, q”), que ele considerava uma relação entre proposições afirmadas; tendo feito essa distinção, Russell poderia negar que a tentativa da Tartaruga de tratar inferir Z de A e B como equivalente ou dependente de concordar com a hipotética “Se A e B são verdadeiros, então Z é verdadeiro”.

O filósofo wittgensteiniano Peter Winch discutiu o paradoxo em A idéia de uma ciência social e sua relação com a filosofia (1958), onde argumentou que o paradoxo mostrava que “o processo real de desenhar uma inferência, que afinal está no centro da lógica , é algo que não pode ser representado como uma fórmula lógica … Aprender a inferir não é apenas uma questão de ser ensinado sobre relações lógicas explícitas entre proposições; é aprender a fazer alguma coisa ”. Winch continua sugerindo que a moral do diálogo é um caso particular de uma lição geral, no sentido de que a aplicação adequada de regras que governam uma forma de atividade humana não pode, por si só, ser resumida com um conjunto de regras adicionais e, portanto, que “Uma forma de atividade humana nunca pode ser resumida em um conjunto de preceitos explícitos”.

O diálogo de Carroll é aparentemente a primeira descrição de um obstáculo ao convencionalismo sobre a verdade lógica, posteriormente retrabalhada em termos filosóficos mais sóbrios por WVO Quine.