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Paradoxos

Paradoxo do mentiroso

Na filosofia e na lógica, o paradoxo clássico do mentiroso ou o paradoxo do mentiroso ou a antinomia do mentiroso é a afirmação de um mentiroso de que ele ou ela está mentindo: por exemplo, declarar que “eu estou mentindo”. Se o mentiroso está realmente mentindo, o mentiroso está dizendo a verdade, o que significa que o mentiroso acabou de mentir. Em “esta frase é uma mentira”, o paradoxo é reforçado para torná-lo passível de análises lógicas mais rigorosas. Ainda é geralmente chamado de “paradoxo do mentiroso”, embora a abstração seja feita precisamente pelo mentiroso que faz a afirmação. Tentando atribuir a essa afirmação, o mentiroso fortalecido, um valor de verdade binário clássico leva a uma contradição.

Geralmente, o termo “paradoxo do mentiroso” é mais usado, embora a abstração seja feita precisamente pelo próprio mentiroso. Ao tentar atribuir um valor de verdade binário à afirmação do mentiroso fortalecido, é alcançada uma contradição.

Se “esta sentença é falsa” é verdadeira, então é falsa, mas a sentença declara que é falsa e, se for falsa, deve ser verdadeira e assim por diante.

Para impedir que uma afirmação se refira ao seu próprio valor lógico, também é possível construir o paradoxo da seguinte maneira, chamado paradoxo da mentira reforçada: A afirmação a seguir é verdadeira. A afirmação anterior é falsa.

História
O paradoxo de Epimenides (por volta de 600 aC) foi sugerido como um exemplo do paradoxo dos mentirosos, mas eles não são logicamente equivalentes. O vidente semi-mítico Epimenides, um cretense, afirmou que “todos os cretenses são mentirosos”. No entanto, a afirmação de Epimenides de que todos os cretenses são mentirosos pode ser resolvida como falsa, já que ele conhece pelo menos um outro cretense que não mente. É precisamente para evitar incertezas decorrentes do fator humano e de conceitos nebulosos que os lógicos modernos propuseram um mentiroso “fortalecido”, como a frase “esta frase é falsa”.

O nome do paradoxo é traduzido como pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) no grego antigo. Uma versão do paradoxo do mentiroso é atribuída ao filósofo grego Eubulides de Mileto, que viveu no século IV aC. Eubulides teria perguntado: “Um homem diz que está mentindo. O que ele diz é verdadeiro ou falso?”

O paradoxo foi discutido por São Jerônimo em um sermão:

“Eu disse, alarmada, que todo homem é um mentiroso!” Davi está dizendo a verdade ou está mentindo? Se é verdade que todo homem é mentiroso, e a afirmação de Davi: “Todo homem é mentiroso” é verdadeira, então Davi também está mentindo; ele também é um homem. Mas se ele também está mentindo, sua afirmação de que “todo homem é um mentiroso”, consequentemente não é verdadeira. Seja como for que você vire a proposição, a conclusão é uma contradição. Já que o próprio David é homem, segue-se que ele também está mentindo; mas se ele está mentindo porque todo homem é mentiroso, sua mentira é de um tipo diferente.

O filósofo-gramático indiano Bhartrhari (final do século V dC) estava bem ciente de um paradoxo mentiroso que ele formulou como “tudo o que estou dizendo é falso” (sarvam mithyā bravīmi). Ele analisa essa afirmação juntamente com o paradoxo da “insignificabilidade” e explora a fronteira entre afirmações que não são problemáticas na vida cotidiana e paradoxos.

Houve discussões sobre o paradoxo dos mentirosos no início da tradição islâmica por pelo menos cinco séculos, a partir do final do século 9, e aparentemente sem serem influenciados por nenhuma outra tradição. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī poderia ter sido o primeiro lógico a identificar o paradoxo do mentiroso como auto-referencial.

Explicação e variantes
O problema do paradoxo do mentiroso é que parece mostrar que crenças comuns sobre verdade e falsidade realmente levam a uma contradição. É possível construir frases que não possam receber um valor de verdade consistentemente, mesmo que estejam completamente de acordo com as regras gramaticais e semânticas.

A versão mais simples do paradoxo é a frase:

A: Esta afirmação (A) é falsa.

Se (A) for verdadeiro, “Esta declaração é falsa” é verdadeira. Portanto, (A) deve ser falso. A hipótese de que (A) é verdadeira leva à conclusão de que (A) é falsa, uma contradição.

Se (A) for falso, “Esta declaração é falsa” é falsa. Portanto, (A) deve ser verdadeiro. A hipótese de que (A) é falsa leva à conclusão de que (A) é verdadeira, outra contradição. De qualquer forma, (A) é verdadeiro e falso, o que é um paradoxo.

No entanto, o fato de que a sentença do mentiroso pode ser verdadeira se for falsa e falsa se for verdadeira levou alguns a concluir que não é “nem verdadeira nem falsa”. Essa resposta ao paradoxo é, com efeito, a rejeição da afirmação de que toda afirmação deve ser verdadeira ou falsa, também conhecido como princípio da bivalência, um conceito relacionado à lei do meio excluído.

A proposta de que a afirmação não é verdadeira nem falsa deu origem à seguinte versão fortalecida do paradoxo:

Esta afirmação não é verdadeira. (B)

Se (B) não é verdadeiro nem falso, então não deve ser verdadeiro. Uma vez que é isso que (B) afirma, significa que (B) deve ser verdadeiro. Como inicialmente (B) não era verdade e agora é verdade, surge outro paradoxo.

Outra reação ao paradoxo de (A) é postular, como Graham Priest, que a afirmação é verdadeira e falsa. No entanto, mesmo a análise de Priest é suscetível à seguinte versão do mentiroso:

Esta afirmação é apenas falsa. (C)

Se (C) é verdadeiro e falso, (C) é apenas falso. Mas então, isso não é verdade. Como inicialmente (C) era verdade e agora não é verdade, é um paradoxo. No entanto, argumentou-se que, ao adotar uma semântica relacional de dois valores (em oposição à semântica funcional), a abordagem dialetêmica pode superar essa versão do mentiroso.

Existem também versões com várias frases do paradoxo do mentiroso. A seguir, a versão com duas frases:

A afirmação a seguir é verdadeira. (D1)
A declaração anterior é falsa. (D2)

Suponha que (D1) seja verdadeiro. Então (D2) é verdadeiro. Isso significaria que (D1) é falso. Portanto, (D1) é verdadeiro e falso.

Suponha que (D1) seja falso. Então (D2) é falso. Isso significaria que (D1) é verdade. Assim (D1) é verdadeiro e falso. De qualquer forma, (D1) é verdadeiro e falso – o mesmo paradoxo que (A) acima.

A versão multi-sentenças do paradoxo do mentiroso generaliza a qualquer sequência circular de tais afirmações (em que a última afirmação afirma a verdade / falsidade da primeira afirmação), desde que haja um número ímpar de afirmações afirmando a falsidade de seu sucessor; a seguir, uma versão de três frases, com cada afirmação afirmando a falsidade de seu sucessor:

E2 é falso. (E1)
E3 é falso. (E2)
E1 é falso. (E3)

Suponha que (E1) seja verdadeiro. Então (E2) é falso, o que significa (E3) é verdadeiro e, portanto, (E1) é falso, levando a uma contradição.

Suponha que (E1) seja falso. Então (E2) é verdadeiro, o que significa (E3) é falso e, portanto, (E1) é verdadeiro. De qualquer maneira, (E1) é ao mesmo tempo verdadeiro e falso – o mesmo paradoxo que em (A) e (D1).

Existem muitas outras variantes e muitos complementos possíveis. Na construção de sentença normal, a versão mais simples do complemento é a sentença:

Esta afirmação é verdadeira. (F)
Se for assumido que F possui um valor de verdade, ele apresenta o problema de determinar o objeto desse valor. Porém, é possível uma versão mais simples, assumindo que a única palavra ‘true’ tenha um valor de verdade. O análogo ao paradoxo é assumir que a palavra única ‘falso’ também tem um valor de verdade, a saber, que é falso. Isso revela que o paradoxo pode ser reduzido ao ato mental de assumir que a própria idéia de falácia tem um valor de verdade, a saber, que a própria idéia de falácia é falsa: um ato de deturpação. Portanto, a versão simétrica do paradoxo seria:

A seguinte declaração é falsa. (G1)
A declaração anterior é falsa. (G2)

Resoluções possíveis

Alfred Tarski
Alfred Tarski diagnosticou o paradoxo como surgindo apenas em idiomas “semanticamente fechados”, com o qual ele quis dizer um idioma no qual é possível que uma frase predique a verdade (ou falsidade) de outra frase no mesmo idioma (ou mesmo em si mesma) ) Para evitar a autocontradição, é necessário, ao discutir os valores da verdade, prever níveis de idiomas, cada um dos quais pode predicar a verdade (ou falsidade) apenas dos idiomas em um nível inferior. Portanto, quando uma frase se refere ao valor de verdade de outra, é semanticamente maior. A sentença mencionada faz parte da “linguagem do objeto”, enquanto a sentença referente é considerada parte da “meta-linguagem” em relação à linguagem do objeto. É legítimo para frases em “idiomas” mais alto na hierarquia semântica para se referir a sentenças mais baixas na hierarquia “idioma”, mas não o contrário. Isso impede que um sistema se torne auto-referencial.

No entanto, este sistema está incompleto. Alguém gostaria de poder fazer declarações como “Para cada declaração no nível α da hierarquia, há uma declaração no nível α + 1 que afirma que a primeira declaração é falsa”. Essa é uma afirmação verdadeira e significativa sobre a hierarquia que Tarski define, mas refere-se a declarações em todos os níveis da hierarquia, portanto, deve estar acima de todos os níveis da hierarquia e, portanto, não é possível dentro da hierarquia (embora versões limitadas de a sentença é possível).

Arthur Prior
Arthur Prior afirma que não há nada paradoxal no paradoxo do mentiroso. Sua afirmação (que ele atribui a Charles Sanders Peirce e John Buridan) é que toda afirmação inclui uma afirmação implícita de sua própria verdade. Assim, por exemplo, a afirmação “É verdade que dois mais dois é igual a quatro” não contém mais informações do que a afirmação “dois mais dois é igual a quatro”, porque a frase “é verdade que …” está sempre implicitamente presente. E no espírito autorreferencial do Paradoxo do Mentiroso, a frase “é verdade que …” é equivalente a “toda essa afirmação é verdadeira e …”.

Portanto, as duas instruções a seguir são equivalentes:

Esta afirmação é falsa.
Esta afirmação é verdadeira e é falsa.
O último é uma simples contradição da forma “A e não A” e, portanto, é falsa. Portanto, não há paradoxo porque a afirmação de que esse mentiroso de dois conjuntos é falsa não leva a uma contradição. Eugene Mills apresenta uma resposta semelhante.

Saul Kripke
Saul Kripke argumentou que se uma sentença é paradoxal ou não pode depender de fatos contingentes.: 6 Se a única coisa que Smith diz sobre Jones é:

A maioria do que Jones diz sobre mim é falsa.
e Jones diz apenas estas três coisas sobre Smith:

Smith é um grande gastador.
Smith é gentil com o crime.
Tudo o que Smith diz sobre mim é verdade.
Se Smith realmente é um grande gastador, mas não é mole com o crime, tanto a observação de Smith sobre Jones quanto a última observação de Jones sobre Smith são paradoxais.

Kripke propõe uma solução da seguinte maneira. Se o valor de verdade de uma afirmação está finalmente associado a algum fato avaliável sobre o mundo, essa afirmação é “fundamentada”. Caso contrário, essa afirmação é “não fundamentada”. Declarações não aterradas não têm um valor de verdade. As declarações do mentiroso e do tipo mentiroso não são fundamentadas e, portanto, não têm valor de verdade.

Jon Barwise e John Etchemendy
Jon Barwise e John Etchemendy propõem que a sentença do mentiroso (que eles interpretam como sinônimo do mentiroso fortalecido) é ambígua. Eles baseiam essa conclusão em uma distinção que fazem entre “negação” e “negação”. Se o mentiroso quer dizer: “Não é verdade que essa afirmação é verdadeira”, está negando a si mesma. Se significa “Esta afirmação não é verdadeira”, está negando a si mesma. Eles argumentam, com base na semântica da situação, que o “mentiroso da negação” pode ser verdadeiro sem contradição, enquanto o “mentiroso da negação” pode ser falso sem contradição. O livro de 1987 faz uso pesado da teoria dos conjuntos não bem fundamentada.

Dialetheism
Graham Priest e outros lógicos, incluindo JC Beall e Bradley Armour-Garb, propuseram que a sentença do mentiroso fosse considerada verdadeira e falsa, um ponto de vista conhecido como dialetismo. Dialetheism é a opinião de que existem verdadeiras contradições. O dialetismo levanta seus próprios problemas. A principal delas é que, como o dialetheism reconhece o paradoxo do mentiroso, uma contradição intrínseca, como sendo verdadeira, deve descartar o princípio de explosão há muito reconhecido, que afirma que qualquer proposição pode ser deduzida de uma contradição, a menos que o dialetheist esteja disposto a aceitar trivialismo – a visão de que todas as proposições são verdadeiras. Como o trivialismo é uma visão intuitivamente falsa, os dialetistas quase sempre rejeitam o princípio da explosão. As lógicas que a rejeitam são chamadas paraconsistentes.

Não cognitivismo
Andrew Irvine argumentou a favor de uma solução não cognitivista para o paradoxo, sugerindo que algumas frases aparentemente bem formadas não serão verdadeiras nem falsas e que “apenas os critérios formais inevitavelmente serão insuficientes” para resolver o paradoxo.

Perspectivismo de Bhartrhari
O filósofo-gramático indiano Bhartrhari (final do século V dC) lidou com paradoxos como o mentiroso em uma seção de um dos capítulos de sua magnum opus, o Vākyapadīya. Embora cronologicamente ele preceda todos os tratamentos modernos do problema do paradoxo do mentiroso, só recentemente foi possível para aqueles que não conseguem ler as fontes sânscritas originais confrontar suas opiniões e análises com as dos lógicos e filósofos modernos, porque edições e traduções suficientemente confiáveis de seu trabalho só começou a se tornar disponível a partir da segunda metade do século XX. A solução de Bhartrhari se encaixa em sua abordagem geral da linguagem, pensamento e realidade, que tem sido caracterizada por alguns como “relativista”, “não comprometida” ou “perspectivista”.

No que diz respeito ao paradoxo do mentiroso (sarvam mithyā bhavāmi “tudo o que estou dizendo é falso”), Bhartrhari identifica um parâmetro oculto que pode transformar situações sem problemas na comunicação diária em um paradoxo teimoso. A solução de Bhartrhari pode ser entendida em termos da solução proposta em 1992 por Julian Roberts: “Paradoxos se consomem. Mas podemos separar os lados conflitantes da contradição pelo simples expediente de contextualização temporal: o que é ‘verdadeiro’ em relação a um ponto no tempo não precisa ser assim em outro … A força geral do argumento ‘Austiniano’ não é apenas que ‘as coisas mudam’, mas que a racionalidade é essencialmente temporal, pois precisamos de tempo para reconciliar e gerenciar o que de outra forma ser estados mutuamente destrutivos “.

Segundo a sugestão de Robert, é o fator “tempo” que nos permite reconciliar as “partes do mundo” separadas que desempenham um papel crucial na solução de Barwise e Etchemendy.:188 A capacidade de tempo para impedir um confronto direto de as duas “partes do mundo” são aqui externas ao “mentiroso”. À luz da análise de Bhartrhari, no entanto, a extensão do tempo que separa duas perspectivas do mundo ou duas “partes do mundo” – a parte anterior e a parte posterior à função realizar sua tarefa – é inerente a qualquer “função”: também a função de significar a base de cada afirmação, incluindo o “mentiroso”. O paradoxo insolúvel – uma situação em que temos contradição (virodha) ou regressão infinita (anavasthā) – surge,

Estrutura lógica
Para uma melhor compreensão do paradoxo do mentiroso, é útil anotá-lo de uma maneira mais formal. Se “essa afirmação é falsa” é denotada por A e seu valor de verdade está sendo procurado, é necessário encontrar uma condição que restrinja a escolha dos possíveis valores de verdade de A. Como A é auto-referencial, é possível fornecer a condição por uma equação.

Se alguma afirmação, B, for considerada falsa, alguém escreve “B = false”. A declaração (C) de que a declaração B é falsa seria escrita como “C = ‘B = falsa'”. Agora, o paradoxo do mentiroso pode ser expresso como a afirmação A, de que A é falso:

A = “A = falso”
Esta é uma equação a partir da qual o valor de verdade de A = “esta afirmação é falsa” poderia ser obtido. No domínio booleano “A = false” é equivalente a “não A” e, portanto, a equação não é solucionável. Essa é a motivação para a reinterpretação de A. A abordagem lógica mais simples para tornar a equação solucionável é a abordagem dialeteísta; nesse caso, a solução é A sendo “verdadeira” e “falsa”. Outras resoluções incluem principalmente algumas modificações da equação; Arthur Prior afirma que a equação deve ser “A = ‘A = falso e A = verdadeiro'” e, portanto, A é falso. Na lógica do verbo computacional, o paradoxo do mentiroso é estendido a declarações como “eu ouço o que ele diz; ele diz o que eu não ouço”, onde a lógica do verbo deve ser usada para resolver o paradoxo.

Formulários

O primeiro teorema da incompletude de Gödel
Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas fundamentais da lógica matemática que afirmam limitações inerentes a sistemas axiomáticos suficientemente poderosos para a matemática. Os teoremas foram comprovados por Kurt Gödel em 1931 e são importantes na filosofia da matemática. Grosso modo, ao provar o primeiro teorema da incompletude, Gödel usou uma versão modificada do paradoxo do mentiroso, substituindo “esta sentença é falsa” por “esta sentença não é comprovável”, denominada “sentença Gödel G”. Sua prova mostrou que, para qualquer teoria suficientemente poderosa T, G é verdadeira, mas não provável em T. A análise da verdade e da provabilidade de G é uma versão formalizada da análise da verdade da sentença do mentiroso.

Para provar o primeiro teorema da incompletude, Gödel representou afirmações por números. Então a teoria em questão, que se supõe provar certos fatos sobre números, também prova fatos sobre suas próprias afirmações. As perguntas sobre a possibilidade de afirmações são representadas como perguntas sobre as propriedades dos números, que seriam decidíveis pela teoria se completas. Nesses termos, a sentença Gödel afirma que não existe um número natural com uma certa propriedade estranha. Um número com essa propriedade codificaria uma prova da inconsistência da teoria. Se houvesse esse número, a teoria seria inconsistente, contrária à hipótese da consistência. Portanto, sob a suposição de que a teoria é consistente, não existe esse número.

Não é possível substituir “não comprovável” por “falso” em uma frase de Gödel porque o predicado “Q é o número de Gödel de uma fórmula falsa” não pode ser representado como uma fórmula aritmética. Esse resultado, conhecido como teorema da indefinibilidade de Tarski, foi descoberto independentemente por Gödel (quando ele estava trabalhando na prova do teorema da incompletude) e por Alfred Tarski.

George Boolos, desde então, esboçou uma prova alternativa do primeiro teorema da incompletude que usa o paradoxo de Berry, em vez do paradoxo do mentiroso, para construir uma fórmula verdadeira, mas não comprovável.

Na cultura popular
O paradoxo do mentiroso é usado ocasionalmente na ficção para desligar inteligências artificiais, que são apresentadas como incapazes de processar a frase. Em Star Trek: The Original Series episódio “I, Mudd”, o paradoxo do mentiroso é usado pelo capitão Kirk e Harry Mudd para confundir e finalmente desativar um androide que os mantém em cativeiro. Na série de Doctor Who de 1973, A Morte Verde, o Doutor temporariamente esbarra no BOSS do computador, perguntando: “Se eu lhe dissesse que a próxima coisa que digo seria verdadeira, mas a última coisa que eu disse era mentira, você acredite em mim?” No entanto, o BOSS finalmente decide que a questão é irrelevante e convoca segurança.

No videogame Portal 2 de 2011, o GLaDOS tenta usar o paradoxo “esta frase é falsa” para derrotar a ingênua inteligência artificial Wheatley, mas, sem a inteligência necessária para perceber a afirmação como um paradoxo, ele simplesmente responde: “Hum, é verdade. Eu ‘ vou com a verdade. Lá, isso foi fácil. ” e não é afetado, embora os frankencubes ao seu redor faíscam e fiquem offline.

No sétimo episódio de Minecraft: Story Mode, intitulado “Acesso negado”, o personagem principal Jesse e seus amigos são capturados por um supercomputador chamado PAMA. Depois que o PAMA controla dois amigos de Jesse, Jesse descobre que o PAMA para quando processa e usa um paradoxo para confundi-lo e fugir com seu último amigo. Um dos paradoxos que o jogador pode fazê-lo dizer é o paradoxo do mentiroso.

Em Douglas Adams, O Guia do Mochileiro das Galáxias, capítulo 21, ele descreve um velho solitário que habita um pequeno asteróide nas coordenadas espaciais, onde deveria ter sido um planeta inteiro dedicado às formas de vida Biro (caneta esferográfica). Este velho afirmou repetidamente que nada era verdade, embora mais tarde ele descobrisse estar mentindo.

A música de 1994 da Rollins Band, “Liar”, aludiu ao paradoxo quando o narrador encerra a música dizendo “Vou mentir de novo e de novo e continuarei mentindo, prometo”.

A música de Robert Earl Keen “The Road Goes On and On” faz alusão ao paradoxo. Acredita-se que a música seja escrita como parte do feudo de Keen com Toby Keith, que é presumivelmente o “mentiroso” a que Keen se refere.